Ce vei învăța
- Să rezolvi ecuații și inecuații de gradul I cu o necunoscută.
- Să aplici metoda substituției și a reducerii pentru sisteme de două ecuații liniare.
- Să interpretezi soluțiile în contexte practice, cum ar fi probleme de mișcare sau amestecuri.
Explicația pe înțelesul tău
Ecuații de gradul I
O ecuație de gradul I cu o necunoscută este o relație matematică de forma ax + b = 0, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0. Necunoscuta x reprezintă valoarea pe care trebuie să o afli. De exemplu, dacă ai ecuația 2x + 3 = 7, înseamnă că „de două ori un număr, plus 3, dă 7”.
Rezolvarea înseamnă să izolezi x printr-o succesiune de operații inverse: scădem 3 din ambele părți, apoi împărțim la 2.
Inecuații de gradul I
O inecuație de gradul I este similară, dar semnul „=” este înlocuit cu <, >, ≤ sau ≥. De exemplu, 2x + 3 > 7 înseamnă că „de două ori un număr, plus 3, este mai mare decât 7”. Rezolvarea se face la fel, cu o atenție specială: dacă înmulțești sau împarți inegalitatea cu un număr negativ, sensul semnului se inversează.
De exemplu, -x > 2 devine x < -2.
Sisteme de două ecuații liniare
Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute (de obicei x și y) este scris astfel:
``
{ a₁x + b₁y = c₁
{ a₂x + b₂y = c₂
}
`
Soluția sistemului este perechea (x, y) care satisface ambele ecuații simultan. Două metode principale sunt:
- Metoda substituției: Izolezi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.
- Metoda reducerii: Aduni sau scazi ecuațiile pentru a elimina una dintre necunoscute.
În viața reală, sistemele apar, de exemplu, când calculezi prețul a două produse diferite dintr-un magazin, cunoscând totalul a două cumpărături.
Exemple rezolvate
Exemplul 1: Ecuație de gradul I
Rezolvă ecuația 3x - 5 = 10.
Raționament
- Adunăm 5 la ambele părți: 3x - 5 + 5 = 10 + 5 → 3x = 15.
- Împărțim la 3: 3x / 3 = 15 / 3 → x = 5.
Verificare: 3·5 - 5 = 15 - 5 = 10, corect.
Exemplul 2: Inecuație de gradul I
Rezolvă inecuația -2x + 4 ≤ 10.
Raționament
- Scădem 4: -2x + 4 - 4 ≤ 10 - 4 → -2x ≤ 6.
- Împărțim la -2 (număr negativ, deci inversăm semnul): x ≥ -3.
Soluția: Toate numerele mai mari sau egale cu -3.
Exemplul 3: Sistem de două ecuații
Rezolvă sistemul
`
{ 2x + y = 7
{ x - y = 2
}
`
Raționament prin metoda reducerii
- Adunăm cele două ecuații: (2x + y) + (x - y) = 7 + 2 → 3x = 9 → x = 3.
- Înlocuim x = 3 în a doua ecuație: 3 - y = 2 → -y = -1 → y = 1.
Soluția:
(x, y) = (3, 1). Verificare: 2·3 + 1 = 7, 3 - 1 = 2, corect.
Greșeli frecvente
- Uitarea inversării semnului la inecuații: Când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, semnul se schimbă. De exemplu, -x > 3 nu devine x > -3, ci x < -3.
- Eliminarea greșită a termenilor la sisteme: Dacă aduni ecuațiile, asigură-te că termini asemenea se adună corect. De exemplu, în x + 2y = 5 și x - 2y = 1, adunarea dă 2x = 6, nu 2x = 4.
- Neglijarea verificării soluției: După ce ai găsit x și y, înlocuiește-le în ambele ecuații pentru a evita erorile de calcul.
Verifică-te!
- Rezolvă ecuația 4x - 7 = 2x + 5.
*Indiciu:* Adună termenii cu
x pe o parte și constantele pe cealaltă.
- Rezolvă inecuația -3x + 6 < 0.
*Indiciu:* Mută termenul liber și apoi împarte la coeficientul lui
x, având grijă la semn.
- Rezolvă sistemul:
`
{ x + y = 10
{ 2x - y = 5
}
``
*Indiciu:* Folosește metoda reducerii, adunând ecuațiile pentru a elimina y.