Pe scurt
Vectorii sunt entități matematice caracterizate prin modul, direcție și sens, esențiale în geometria analitică. Coliniaritatea, produsul scalar și ecuațiile de drepte și plane sunt instrumente fundamentale pentru rezolvarea problemelor de geometrie în plan și în spațiu. Aceste concepte permit calculul distanțelor, unghiurilor și pozițiilor relative între elemente geometrice.
Definiția și reprezentarea vectorilor
Vectorii sunt entități matematice caracterizate prin modul (lungime), direcție și sens, esențiale în geometria analitică.
- În plan, un vector se reprezintă prin componente (x, y)
- În spațiu, un vector se reprezintă prin componente (x, y, z)
Operații fundamentale cu vectori
- Adunarea vectorială – se adună componentele corespunzătoare
- Înmulțirea cu un scalar – se înmulțește fiecare componentă
- Combinația liniară – combinație între adunare și înmulțirea cu scalari
Coliniaritatea vectorilor
Coliniaritatea a doi vectori nenuli apare atunci când unul este multiplu scalar al celuilalt.
- Condiția analitică: determinantul format de componentele lor să fie zero
- Pentru vectorii u(a₁,b₁) și v(a₂,b₂): a₁·b₂ - a₂·b₁ = 0
- Dacă produsul scalar este zero, vectorii sunt perpendiculari
Exemplul 1 (coliniaritate)
Se dau vectorii
u(2, -1, 3) și
v(-4, 2, -6). Să se verifice dacă sunt coliniari.
- Observăm că v = -2·u, deoarece (-4=2·(-2), 2=(-1)·(-2), -6=3·(-2))
- Condiția de coliniaritate: rapoartele componentelor sunt egale: 2/(-4) = -1/2 = 3/(-6) = -1/2, ceea ce confirmă coliniaritatea
Produsul scalar
Produsul scalar a doi vectori se calculează astfel
- u·v = |u|·|v|·cos(θ) = x₁·x₂ + y₁·y₂ (în plan)
- În spațiu: u·v = x₁·x₂ + y₁·y₂ + z₁·z₂
Produsul scalar permite
- Calculul unghiului dintre vectori
- Calculul proiecțiilor
Exemplul 2 (produs scalar și unghi)
Fie vectorii
a(1, 2, -2) și
b(3, 0, 4). Calculați produsul scalar și unghiul dintre ei.
- a·b = 1·3 + 2·0 + (-2)·4 = 3 + 0 - 8 = -5
- Modulele: |a| = √(1²+2²+(-2)²) = √9 = 3; |b| = √(3²+0²+4²) = 5
- cosθ = (a·b)/(|a||b|) = -5/(3·5) = -1/3, deci θ = arccos(-1/3) ≈ 109,47°
- Interpretare: unghiul este obtuz, deoarece produsul scalar este negativ
Ecuația dreptei în plan
- Forma vectorială: r = r₀ + t·v (t parametru real, v vector director)
- Forma carteziană: ax + by + c = 0 (cu n(a,b) vector normal)
Ecuația planului în spațiu
- Forma vectorială: n·(r - r₀) = 0, unde n(a,b,c) este vector normal
- Forma carteziană: a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0
Exemplul 3 (ecuația planului)
Scrieți ecuația planului care trece prin punctul
A(1, -2, 3) și are vectorul normal
n(2, -1, 4).
- Folosim formula: n·(r - r₀) = 0 cu r(x,y,z) și r₀(1,-2,3)
- Obținem: 2(x-1) + (-1)(y+2) + 4(z-3) = 0
- Adică: 2x - 2 - y - 2 + 4z - 12 = 0
- Rezultat: 2x - y + 4z - 16 = 0
- Verificare: înlocuind A, obținem 2·1 - (-2) + 4·3 - 16 = 2+2+12-16 = 0, corect
Dreapta în spațiu
- Se exprimă ca intersecție a două plane
- Forma parametrică: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t·(u, v, w)
Aplicații pentru Bacalaureat
Pentru Bacalaureat, se cer frecvent
- Calculul distanței de la un punct la o dreaptă/plan
- Unghiul dintre două drepte sau dintre o dreaptă și un plan
- Toate utilizează produsul scalar și vectorial (deși produsul vectorial nu este cerut explicit la Bac, ci doar coliniaritatea și perpendicularitatea)
Se urmărește
- Înțelegerea relațiilor geometrice prin algebra vectorială
- Trecerea de la forma parametrică la cea carteziană și invers
Verifică-te!
- Care este condiția analitică pentru ca doi vectori nenuli să fie coliniari?
- Ce semn are produsul scalar dacă unghiul dintre doi vectori este obtuz?
- Cum se scrie ecuația unui plan cunoscând un punct prin care trece și vectorul normal?