Pe scurt
Derivata unei funcții reprezintă panta tangentei la grafic în punctul respectiv și măsoară rata instantanee de variație. Regulile de derivare (putere, produs, cât, lanț) permit calculul eficient al derivatelor pentru orice funcție elementară. Semnul derivatei determină monotonia funcției, iar anularea ei, coroborată cu derivata a doua, identifică punctele de extrem local.
Interpretarea geometrică a derivatei
Derivata unei funcții f într-un punct x₀ reprezintă panta tangentei la graficul funcției în punctul (x₀, f(x₀)). Dacă f este derivabilă în x₀, atunci ecuația tangentei este:
- y = f(x₀) + f'(x₀)(x – x₀)
Derivata măsoară rata instantanee de variație a funcției
- pozitivă → funcția crește
- negativă → funcția descrește
- zero → posibil punct de extrem sau de inflexiune
Reguli de derivare
Derivatele funcțiilor elementare
- (c)' = 0 (constanta)
- (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
- (sin x)' = cos x
- (cos x)' = –sin x
- (eˣ)' = eˣ
- (ln x)' = 1/x
- (aˣ)' = aˣ·ln a
- (logₐ x)' = 1/(x·ln a)
Operații cu derivate
- (f ± g)' = f' ± g'
- (f·g)' = f'·g + f·g' (regula produsului)
- (f/g)' = (f'·g – f·g')/g² (regula câtului)
- (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) (regula lanțului, derivata funcției compuse)
Aplicații la studiul monotoniei și al extremelor
Monotonia funcției
O funcție derivabilă pe un interval este:
- crescătoare dacă f'(x) ≥ 0
- descrescătoare dacă f'(x) ≤ 0
Puncte de extrem local
Punctele critice sunt soluțiile ecuației f'(x) = 0 sau punctele unde derivata nu există.
Criteriul derivatelor de ordin superior pentru clasificare
- f'(x₀) = 0 și f''(x₀) > 0 → minim local
- f'(x₀) = 0 și f''(x₀) < 0 → maxim local
- f''(x₀) = 0 → se analizează semnul derivatei în jurul punctului sau se utilizează derivate de ordin superior
Aceste concepte sunt fundamentale pentru rezolvarea problemelor de optimizare și pentru trasarea graficelor funcțiilor.
Exemple
Exemplul 1: Calculați derivata funcției f(x) = 3x⁵ – 2x³ + 7x – 1.
- Aplicăm regula puterii: f'(x) = 3·5x⁴ – 2·3x² + 7·1 – 0 = 15x⁴ – 6x² + 7
- Interpretare geometrică: panta tangentei în x = 1 este f'(1) = 15 – 6 + 7 = 16
- Tangenta în (1, 7) are ecuația: y = 7 + 16(x – 1) = 16x – 9
Exemplul 2: Fie f(x) = x·eˣ. Determinați punctele de extrem local.
- Folosim regula produsului: f'(x) = 1·eˣ + x·eˣ = eˣ(1 + x)
- Punem f'(x) = 0 → eˣ(1 + x) = 0 → x = –1 (deoarece eˣ > 0)
- Derivata a doua: f''(x) = eˣ(1 + x) + eˣ·1 = eˣ(x + 2)
- În x = –1, f''(–1) = e⁻¹·(1) > 0 → x = –1 este punct de minim local
- Valoarea minimă: f(–1) = –1·e⁻¹ = –1/e
Exemplul 3: Studiați monotonia funcției f(x) = x³ – 3x² + 2 pe ℝ.
- f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2)
- Semnul derivatei:
- pentru
x < 0,
f'(x) > 0 → funcția este
crescătoare
- pentru 0 < x < 2, f'(x) < 0 → funcția este descrescătoare
- pentru x > 2, f'(x) > 0 → funcția este crescătoare
- f este crescătoare pe (–∞, 0] și [2, ∞), descrescătoare pe [0, 2]
- Punctele critice: x = 0 (maxim local, f(0) = 2) și x = 2 (minim local, f(2) = 8 – 12 + 2 = –2)
Verifică-te!
- Care este interpretarea geometrică a derivatei unei funcții într-un punct?
- Enunțați regula de derivare pentru produsul a două funcții și pentru funcția compusă.
- Cum se clasifică un punct critic folosind criteriul derivatei a doua?