Pe scurt
O funcție este o regulă care asociază fiecărui element dintr-o mulțime A (domeniu) un singur element dintr-o mulțime B (codomeniu). Proprietățile fundamentale ale funcțiilor sunt injectivitatea (unu-la-unu), surjectivitatea (onto) și bijectivitatea (injectivă și surjectivă). O funcție bijectivă admite o funcție inversă.
Definiția funcției
O funcție este o regulă care asociază fiecărui element dintr-o mulțime
A (numită
domeniu) un singur element dintr-o mulțime
B (numită
codomeniu). Notația standard este
f: A → B, iar pentru un
x ∈ A,
y = f(x) ∈ B. Funcțiile pot fi definite prin formule, tabele, grafice sau descrieri verbale.
Injectivitatea (unu-la-unu)
O funcție se numește
injectivă dacă pentru orice
x₁, x₂ ∈ A cu
x₁ ≠ x₂, avem
f(x₁) ≠ f(x₂). Echivalent, dacă
f(x₁) = f(x₂) implică
x₁ = x₂.
- Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x+3 este injectivă deoarece ecuația 2x₁+3 = 2x₂+3 se reduce la x₁ = x₂.
- Testul liniei orizontale: Pe grafic, dacă o linie orizontală intersectează graficul în mai mult de un punct, funcția nu este injectivă.
Surjectivitatea (onto)
O funcție este
surjectivă dacă pentru orice
y ∈ B, există cel puțin un
x ∈ A astfel încât
f(x) = y. Cu alte cuvinte,
imaginea funcției (mulțimea tuturor valorilor f(x)) coincide cu codomeniul B.
- Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = x³ este surjectivă deoarece orice număr real y are un cub rădăcină reală y^(1/3).
- Verificare: Surjectivitatea se verifică prin rezolvarea ecuației f(x)=y pentru y arbitrar în codomeniu.
Bijectivitatea și funcția inversă
O funcție este
bijectivă dacă este atât
injectivă, cât și
surjectivă. În acest caz, există o
funcție inversă f⁻¹: B → A.
- Exemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = x este bijectivă (inversa este aceeași).
- Contraexemplu: f: ℝ → ℝ, f(x) = x² nu este injectivă (deoarece f(2)=f(-2)=4) și nici surjectivă (valorile negative nu sunt atinse).
Exemple rezolvate
Exemplul 1: Fie funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x - 5. Să se arate că f este bijectivă.
- Injectivitate: Presupunem f(x₁)=f(x₂), adică 3x₁-5=3x₂-5, rezultă 3x₁=3x₂, deci x₁=x₂, deci f este injectivă.
- Surjectivitate: Fie y ∈ ℝ. Rezolvăm ecuația 3x-5=y, obținem x = (y+5)/3 ∈ ℝ, deci există un x astfel încât f(x)=y. Așadar f este surjectivă.
- Concluzie: Fiind și injectivă și surjectivă, f este bijectivă. Inversa f⁻¹(y) = (y+5)/3.
Exemplul 2: Fie funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = x² + 1. Să se determine dacă f este injectivă și/sau surjectivă.
- Injectivitate: Observăm că f(1)=1²+1=2 și f(-1)=(-1)²+1=2, deci f(1)=f(-1) dar 1≠ -1, deci f nu este injectivă.
- Surjectivitate: Valorile lui f(x) sunt întotdeauna ≥1, deci pentru y=0 nu există x real cu f(x)=0. Așadar f nu este surjectivă.
- Concluzie: f nu este nici injectivă, nici surjectivă. Dacă restrângem codomeniul la [1, ∞), atunci devine surjectivă, dar nu injectivă.
Exemplul 3: Fie funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = e^x. Să se studieze injectivitatea și surjectivitatea.
- Injectivitate: Funcția exponențială este strict crescătoare, deci dacă x₁≠x₂, atunci e^(x₁)≠e^(x₂) (sau dacă e^(x₁)=e^(x₂), luând logaritm natural obținem x₁=x₂). Deci f este injectivă.
- Surjectivitate: Pentru y≤0, ecuația e^x=y nu are soluție reală, deoarece e^x>0 pentru orice x. Așadar f nu este surjectivă pe ℝ.
- Concluzie: Dacă restricționăm codomeniul la (0, ∞), atunci f este bijectivă și inversa este ln x.
Concepte cheie
- Funcție ca regulă de asociere univocă
- Injectivitate (unu-la-unu): f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂
- Surjectivitate (onto): imaginea = codomeniul
- Bijectivitate = injectivitate + surjectivitate
- Funcția inversă există pentru funcții bijective
- Testul liniei orizontale pentru injectivitate pe grafic
Verifică-te!
- Ce condiție trebuie să îndeplinească o funcție pentru a fi injectivă?
- Cum se verifică dacă o funcție este surjectivă?
- Ce proprietăți trebuie să aibă o funcție pentru a admite o funcție inversă?