Numere intregi si rationale: operatii cu numere negative, axa numerelor

Ce vei învăța

• Să reprezinți numere întregi și raționale pe axa numerelor, inclusiv numere negative.
• Să efectuezi operații de adunare și scădere cu numere negative, folosind atât regula semnelor, cât și reprezentarea pe axă.
• Să aplici regula semnelor la înmulțirea și împărțirea numerelor întregi și raționale.

Explicația pe înțelesul tău

Numerele întregi și axa numerelor

Numerele întregi (Z) includ numerele naturale (0, 1, 2, ...) și numerele negative (-1, -2, -3, ...). Le poți imagina ca pe o axă orizontală:

• La dreapta lui 0 se află numerele pozitive (+1, +2, ...).
• La stânga lui 0 se află numerele negative (-1, -2, ...).

Exemplu real: Dacă temperatura scade cu 5 grade față de 0°C, ajungem la -5°C. Dacă apoi crește cu 3 grade, ajungem la -2°C. Pe axă, aceasta înseamnă o deplasare mai întâi la stânga (cu 5 unități), apoi la dreapta (cu 3 unități).

Operații cu numere negative

Adunarea și scăderea

• Adunarea a două numere negative: se adună valorile absolute, iar rezultatul este negativ.

*Exemplu*: (-3) + (-5) = -8 (pentru că 3+5=8, iar semnul rămâne minus).

• Adunarea unui număr pozitiv cu unul negativ: scădem valoarea mai mică din cea mai mare, iar semnul este al numărului cu valoarea absolută mai mare.

*Exemplu*: (-7) + 4 = -3 (pentru că 7-4=3, iar 7 este mai mare, deci semnul minus).

• Scăderea unui număr negativ este echivalentă cu adunarea opusului său:

*Regulă*: a – (-b) = a + b.

*Exemplu*: 5 – (-3) = 5 + 3 = 8.

Înmulțirea și împărțirea

Regula semnelor

• + × + = + (pozitiv ori pozitiv = pozitiv)
• + × – = – (pozitiv ori negativ = negativ)
• – × + = – (negativ ori pozitiv = negativ)
• – × – = + (negativ ori negativ = pozitiv)

Aceeași regulă se aplică și la împărțire.

*Exemplu real*: Dacă economisești 10 lei pe lună, dar ai o datorie de 5 lei (considerată –5), atunci după 3 luni vei avea: 3 × (–5) = –15 lei (datorie mai mare). Dacă scapi de datorie (înmulțești cu –1), vei avea –15 × (–1) = +15 lei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1: Reprezentarea pe axă

Problemă: Reprezintă pe axa numerelor numerele: –4, 0, 2, –1, 3.

Rezolvare

1. Desenează o axă orizontală și marchează 0 în mijloc.
2. La stânga lui 0, marchează unitățile negative: –1, –2, –3, –4.
3. La dreapta lui 0, marchează unitățile pozitive: 1, 2, 3.
4. Plasează punctele: –4 (cel mai la stânga), –1 (între –2 și 0), 0, 2 (între 1 și 3), 3 (cel mai la dreapta).

Raționament: Cu cât un număr este mai la stânga pe axă, cu atât este mai mic. Deci –4 < –1 < 0 < 2 < 3.

Exemplul 2: Adunarea numerelor negative

Problemă: Calculează (–8) + 5 + (–3).

Rezolvare

1. Adunăm primele două numere: (–8) + 5 = –3 (pentru că 8-5=3, iar semnul este minus).
2. Adunăm rezultatul cu al treilea număr: (–3) + (–3) = –6 (adunăm valorile absolute: 3+3=6, păstrăm minusul).

Răspuns: –6.

Verificare pe axă: De la –8, mergi 5 pași la dreapta (ajungi la –3), apoi 3 pași la stânga (ajungi la –6).

Exemplul 3: Înmulțirea cu numere negative

Problemă: Calculează (–4) × 3 × (–2).

Rezolvare

1. Înmulțim primele două numere: (–4) × 3 = –12 (regula: – × + = –).
2. Înmulțim rezultatul cu al treilea număr: (–12) × (–2) = +24 (regula: – × – = +).

Răspuns: 24.

Raționament: Numărul de factori negativi este par (2), deci rezultatul este pozitiv. Dacă ar fi fost impar, rezultatul ar fi fost negativ.

Greșeli frecvente

1. Confuzia între scădere și semnul negativ

*Greșeală*: 5 – (–3) = 5 – 3 = 2.

*Corect*: 5 – (–3) = 5 + 3 = 8.

*Cum eviți*: Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea opusului său. Transformă întotdeauna „– (–a)” în „+ a”.

1. Regula semnelor la înmulțirea mai multor factori

*Greșeală*: (–2) × (–3) × (–1) = +6.

*Corect*: Rezultatul este –6 (trei factori negativi → impar → negativ).

*Cum eviți*: Numără factorii negativi. Dacă numărul este par, rezultatul e pozitiv; dacă este impar, rezultatul e negativ.

1. Adunarea a două numere negative ca și cum ar fi pozitive

*Greșeală*: (–4) + (–5) = –1.

*Corect*: (–4) + (–5) = –9.

*Cum eviți*: Gândește-te la datorii: dacă ai o datorie de 4 lei și mai faci una de 5 lei, datoria totală este de 9 lei, nu 1 leu.

Verifică-te!

1. Reprezentare pe axă: Plasează pe axa numerelor numerele: –5, 3, –2, 0, 4. Care este cel mai mic număr?

*Indiciu*: Cu cât un număr este mai la stânga pe axă, cu atât este mai mic.

1. Adunare și scădere: Calculează: (–12) + 7 – (–3).

*Indiciu*: Transformă scăderea numărului negativ în adunare.

1. Înmulțire: Calculează: (–5) × (–2) × 3 × (–1).

*Indiciu*: Numără câți factori negativi sunt. Este numărul par sau impar?