Pe scurt
Numerele complexe extind mulțimea numerelor reale prin introducerea unității imaginare i (i² = -1), permițând rezolvarea ecuațiilor precum x² + 1 = 0. Un număr complex poate fi reprezentat în forma algebrică (z = a + bi) sau în forma trigonometrică (z = r(cos θ + i sin θ)), iar teorema fundamentală a algebrei garantează că orice ecuație polinomială de grad n are exact n rădăcini în mulțimea numerelor complexe.
Forma algebrică a numerelor complexe
Un număr complex în forma algebrică se scrie ca z = a + b i, unde:
- a este partea reală (Re(z))
- b este partea imaginară (Im(z))
- i este unitatea imaginară, cu proprietatea i² = -1
Egalitatea a două numere complexe: două numere complexe sunt egale dacă au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară.
Conjugatul lui z = a + b i este ̄z = a - b i.
Modulul (sau valoarea absolută) este |z| = √(a² + b²).
Operații cu numere complexe în formă algebrică:
- Adunarea și scăderea: se adună/scad părțile reale și părțile imaginare separat
- Înmulțirea: se efectuează respectând regulile algebrei, folosind i² = -1
- Împărțirea: se realizează prin amplificare cu conjugatul numitorului
Exemplul 1: Fie z₁ = 2 + 3i și z₂ = 1 - i.
- z₁ + z₂ = (2+1) + (3-1)i = 3 + 2i
- z₁ * z₂ = (2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i
- z₁ / z₂ = (2+3i)/(1-i) amplificăm cu (1+i): = (2+3i)(1+i)/((1-i)(1+i)) = (2 + 2i + 3i + 3i²)/(1 - i²) = (2 + 5i - 3)/2 = (-1 + 5i)/2 = -1/2 + (5/2)i
Forma trigonometrică (polară) a numerelor complexe
Forma trigonometrică a unui număr complex este z = r(cos θ + i sin θ), unde:
- r = |z| este modulul numărului complex
- θ = arg(z) este argumentul numărului complex
Argumentul principal se alege în intervalul [0, 2π) sau (-π, π].
Avantajele formei trigonometrice:
- Înmulțirea: se înmulțesc modulele și se adună argumentele
- Ridicarea la putere (formula lui Moivre): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Exemplul 2: Scrieți numărul z = -1 + i în formă trigonometrică, apoi calculați z⁵.
- a = -1, b = 1
- r = √((-1)² + 1²) = √2
- θ = arctg(b/a) = arctg(-1) = 135° (sau 3π/4) deoarece punctul este în cadranul II
- z = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4))
- z⁵ = (√2)⁵(cos(5·3π/4) + i sin(5·3π/4)) = 2^(5/2)(cos(15π/4) + i sin(15π/4))
- = 4√2 (cos(7π/4) + i sin(7π/4)) = 4√2(√2/2 - i√2/2) = 4 - 4i
Ecuații binome
Ecuațiile binome sunt de forma zⁿ = w, unde n ∈ ℕ* și w este un număr complex dat.
Soluțiile se obțin prin scrierea lui w în formă trigonometrică și aplicarea formulei rădăcinilor de ordin n:
- z_k = ⁿ√(|w|) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)), k = 0, 1, ..., n-1
- Există exact n rădăcini distincte în planul complex
Exemplul 3: Rezolvați ecuația z³ = 1.
- Scriem 1 = 1(cos 0 + i sin 0)
- Rădăcinile de ordin 3: z_k = ∛1 (cos((0+2kπ)/3) + i sin((0+2kπ)/3)), k=0,1,2
- z₀ = cos 0 + i sin 0 = 1
- z₁ = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = -1/2 + i√3/2
- z₂ = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = -1/2 - i√3/2
Teorema fundamentală a algebrei
Teorema fundamentală a algebrei afirmă că orice polinom de grad n ≥ 1 cu coeficienți complecși are exact n rădăcini în mulțimea numerelor complexe (numărate cu multiplicitate).
Consecințe importante:
- Orice ecuație polinomială de gradul n are soluții în ℂ, ceea ce nu este adevărat în ℝ
- De exemplu, ecuația x² + 1 = 0 nu are rădăcini reale, dar are rădăcinile complexe ±i
- Pentru ecuații de grad superior, se caută factorizarea polinomului folosind rădăcini reale sau complexe
- În cazul ecuațiilor cu coeficienți reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate
Verifică-te!
- Care este conjugatul numărului complex z = 3 - 2i și cum se calculează modulul acestuia?
- Cum se scrie numărul complex z = 1 + i în formă trigonometrică și care este valoarea lui z⁴ folosind formula lui Moivre?
- Câte rădăcini distincte are ecuația binomă z⁴ = 16 și cum se determină acestea?