Pe scurt
Metoda matriceală de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare transformă sistemul în forma AX = B, unde soluția se obține prin X = A⁻¹B (dacă determinantul este nenul). Regula lui Cramer și studiul rangului matricei permit determinarea compatibilității și a soluțiilor sistemului.
Forma matriceală a sistemelor de ecuații liniare
Un sistem de m ecuații cu n necunoscute poate fi scris sub forma matriceală AX = B, unde:
- A este matricea coeficienților (dimensiune m × n)
- X este matricea coloană a necunoscutelor (n × 1)
- B este matricea coloană a termenilor liberi (m × 1)
Rezolvarea sistemelor pătratice (m = n)
- Dacă det(A) ≠ 0, sistemul este compatibil determinat și are soluție unică: X = A⁻¹ · B
- Calculul inversei se poate face prin metoda Gauss-Jordan sau prin formula cu matricea adjunctă
Regula lui Cramer
Fiecare necunoscută se exprimă ca raport de determinanți
- xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
- Aᵢ este matricea obținută prin înlocuirea coloanei i cu coloana termenilor liberi
- Metoda este eficientă pentru sisteme de dimensiuni mici (2×2, 3×3)
Exemplul 1: Rezolvarea prin regula lui Cramer
Rezolvați sistemul: 2x + 3y = 7, 4x - y = 1
- A = [[2, 3], [4, -1]], det(A) = 2·(-1) - 3·4 = -2 - 12 = -14 ≠ 0
- det_x = [[7, 3], [1, -1]] = 7·(-1) - 3·1 = -7 - 3 = -10, x = (-10)/(-14) = 5/7
- det_y = [[2, 7], [4, 1]] = 2·1 - 7·4 = 2 - 28 = -26, y = (-26)/(-14) = 13/7
- Soluția: x = 5/7, y = 13/7
- Verificare: 2·(5/7) + 3·(13/7) = 10/7 + 39/7 = 49/7 = 7, corect
Exemplul 2: Rezolvarea prin inversa matricei
Rezolvați sistemul: x + y + z = 6, 2x - y + z = 3, x + 2y - z = 2
- A = [[1,1,1],[2,-1,1],[1,2,-1]], det(A) = 7 ≠ 0
- Calculul inversei prin Gauss-Jordan: [A|I] → după operații elementare → A⁻¹ = (1/7)·[[-1, 3, 2], [3, -2, 1], [5, -1, -3]]
- X = A⁻¹·B = (1/7)·[[-1,3,2],[3,-2,1],[5,-1,-3]] · [[6],[3],[2]] = (1/7)·[[7],[14],[21]] = [[1],[2],[3]]
- Soluția: x=1, y=2, z=3
- Verificare: 1+2+3=6, 2·1-2+3=3, 1+4-3=2, corect
Studiul compatibilității sistemelor
Rangul matricei A și rangul matricei extinse (A|B) determină tipul de compatibilitate:
- Dacă rang(A) = rang(A|B) = n → sistem compatibil determinat (soluție unică)
- Dacă rang(A) = rang(A|B) < n → sistem compatibil nedeterminat (infinit de soluții)
- Dacă rang(A) ≠ rang(A|B) → sistem incompatibil (fără soluție)
Atenție!
- Dacă det(A) = 0, metoda matriceală clasică nu funcționează; sistemul poate fi incompatibil sau nedeterminat
- Este esențial să se verifice întotdeauna determinantul înainte de a aplica regula lui Cramer
Exemplul 3: Studiul compatibilității
Studiați compatibilitatea sistemului: x + 2y = 5, 2x + 4y = 10
- A = [[1,2],[2,4]], det(A) = 1·4 - 2·2 = 4-4 = 0
- Rang(A) = 1 (linia 2 este dublul liniei 1, deci liniar dependentă)
- Matricea extinsă (A|B) = [[1,2,5],[2,4,10]], rang(A|B) = 1 (linia 2 este 2·linia 1 și 10=2·5)
- rang(A) = rang(A|B) = 1 < n = 2 → sistem compatibil nedeterminat
- Soluția: din prima ecuație, x = 5-2y, cu y ∈ R
- Soluția generală: (x,y) = (5-2y, y), y ∈ R
Recomandări pentru bacalaureat
- Accentul cade pe sisteme 2×2 și 3×3
- Se aplică regula lui Cramer și inversa matricei
- Pentru sisteme mai mari, se recomandă eliminarea gaussiană sau descompunerea LU
Importanța metodei matriceale
Metoda matriceală este fundamentală pentru înțelegerea
- Spațiilor vectoriale
- Transformărilor liniare
- Aplicațiilor în fizică, economie și inginerie
Prin exerciții variate, elevii își dezvoltă gândirea algoritmică și capacitatea de a abstractiza probleme concrete.
Verifică-te!
- Care este condiția necesară pentru ca un sistem pătratic să aibă soluție unică prin metoda matriceală?
- Ce relație între rang(A) și rang(A|B) indică un sistem incompatibil?
- Cum se modifică matricea A pentru a calcula determinantul corespunzător necunoscutei y prin regula lui Cramer?