Pe scurt
Geometria în spațiu studiază corpurile tridimensionale fundamentale: prisma, piramida, cilindrul, conul și sfera. Fiecare corp are formule specifice pentru volum și arie, esențiale pentru rezolvarea problemelor de Bacalaureat. Înțelegerea acestor concepte necesită vizualizare tridimensională și aplicarea corectă a teoremelor lui Pitagora și a asemănării triunghiurilor.
Prisma
Prisma este un poliedru format prin translatarea unui poligon (bază) de-a lungul unei direcții perpendiculare pe planul său. Are două baze congruente și paralele, iar fețele laterale sunt paralelograme.
- Volumul prismei: V = Ab * h (produsul dintre aria bazei și înălțime)
- Aria laterală (Al): suma ariilor fețelor laterale
- Aria totală (At): At = Al + 2 * Ab
Piramida
Piramida are o singură bază poligonală și un vârf (apex) situat în afara planului bazei. Fețele laterale sunt triunghiuri.
- Volumul piramidei: V = (1/3) * Ab * h (o treime din produsul ariei bazei cu înălțimea)
- Aria laterală: suma ariilor triunghiurilor laterale
Exemplu: O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 6 cm și înălțimea de 9 cm.
- Ab = 6² = 36 cm²
- V = (1/3) * 36 * 9 = 108 cm³
- Apotema piramidei = √(h² + (latura/2)²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 cm
- Aria unei fețe laterale = (bază * apotema) / 2 = (6 * 3√10) / 2 = 9√10 cm²
- Al = 4 * 9√10 = 36√10 cm²
- At = 36 + 36√10 cm²
Cilindrul circular drept
Cilindrul circular drept se obține prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei laturi. Bazele sunt cercuri congruente, iar generatoarea este egală cu înălțimea.
- Volumul cilindrului: V = π * r² * h
- Aria laterală: Al = 2 * π * r * h
- Aria totală: At = 2 * π * r * h + 2 * π * r²
Exemplu: Un cilindru circular drept are raza bazei de 4 cm și înălțimea de 10 cm.
- V = π * 16 * 10 = 160π cm³
- Al = 2π * 4 * 10 = 80π cm²
- At = 80π + 2 * π * 16 = 80π + 32π = 112π cm²
Conul circular drept
Conul circular drept rezultă prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Are o bază circulară și un vârf. Generatoarea (G) se leagă de raza (r) și înălțimea (h) prin relația: G² = r² + h².
- Volumul conului: V = (1/3) * π * r² * h
- Aria laterală: Al = π * r * G
- Aria totală: At = π * r * G + π * r²
Exemplu: Un con circular drept are raza bazei de 3 cm și generatoarea de 5 cm.
- h = √(G² - r²) = √(25 - 9) = √16 = 4 cm
- V = (1/3) * π * 9 * 4 = 12π cm³
- Al = π * 3 * 5 = 15π cm²
- At = 15π + π * 9 = 24π cm²
Sfera
Sfera este mulțimea punctelor din spațiu situate la o distanță fixă (raza R) de un punct central.
- Volumul sferei: V = (4/3) * π * R³
- Aria sferei (suprafața): As = 4 * π * R²
Concepte cheie
- Volumul prismelor și piramidelor: V_prismă = Ab * h, V_piramidă = (1/3) * Ab * h
- Volumul și aria cilindrului: V = πr²h, Al = 2πrh, At = 2πrh + 2πr²
- Volumul și aria conului: V = (1/3)πr²h, Al = πrG, At = πrG + πr², G² = r² + h²
- Volumul și aria sferei: V = (4/3)πR³, A = 4πR²
- Relația dintre generatoare, rază și înălțime la con (teorema lui Pitagora în spațiu)
Verifică-te!
- Care este formula volumului unei prisme și cum diferă aceasta de formula volumului unei piramide?
- Cum se calculează generatoarea unui con circular drept cunoscând raza bazei și înălțimea?
- Ce reprezintă aria laterală a unui cilindru și cum se calculează aceasta?