Geometrie analitica: dreapta si cercul in plan

Pe scurt

Geometria analitică studiază entitățile geometrice prin intermediul ecuațiilor și coordonatelor în planul cartezian. Orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație liniară, iar cercul este definit ca mulțimea punctelor aflate la o distanță fixă față de un punct fix. Elemente fundamentale sunt distanța de la un punct la o dreaptă, unghiul dintre două drepte, condițiile de paralelism și perpendicularitate, precum și pozițiile relative dintre o dreaptă și un cerc.

Ecuațiile dreptei în plan

Forma generală a ecuației dreptei este: ax + by + c = 0, unde a, b, c ∈ R, iar a și b nu sunt simultan nuli.

Pentru determinarea unei drepte, sunt cunoscute mai multe forme

• Ecuația explicită: y = mx + n, unde m este panta, iar n ordonata la origine
• Ecuația prin două puncte: dacă se cunosc A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂), atunci ecuația se scrie ca determinant sau folosind formula pantei m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) și apoi y - y₁ = m(x - x₁)
• Ecuația prin punct și pantă
• Ecuația sub formă de segment: x/a₀ + y/b₀ = 1, unde a₀ și b₀ sunt intersecțiile cu axele
• Ecuația normală: x cos α + y sin α - p = 0

Distanța de la un punct la o dreaptă și unghiul dintre două drepte

Distanța de la un punct la o dreaptă se calculează cu formula

• d(P, d) = |a·xP + b·yP + c| / √(a² + b²)

Unghiul dintre două drepte se calculează folosind pantele

• tg θ = |m₁ - m₂| / |1 + m₁·m₂|

Condițiile de paralelism și perpendicularitate sunt esențiale

• Paralelism: m₁ = m₂
• Perpendicularitate: m₁·m₂ = -1

Ecuația cercului

Cercul este definit ca mulțimea punctelor M(x, y) din plan care se află la o distanță fixă (raza R) față de un punct fix O(a, b), numit centru.

Ecuația canonică a cercului este: (x - a)² + (y - b)² = R²

Prin dezvoltare, se obține forma generală: x² + y² + Dx + Ey + F = 0, cu condiția D² + E² - 4F > 0 pentru un cerc real.

Centrul are coordonatele: (-D/2, -E/2)

Raza se calculează: R = (1/2)·√(D² + E² - 4F)

Pozițiile relative dintre o dreaptă și un cerc

Pozițiile relative se determină calculând distanța de la centrul cercului la dreaptă:

• Dacă distanța > R, dreapta este exterioară
• Dacă distanța = R, dreapta este tangentă
• Dacă distanța < R, dreapta este secantă

Ecuația tangentei la cerc într-un punct de pe cerc se obține prin dedublare, iar condiția ca o dreaptă să fie tangentă la un cerc conduce la un discriminant nul în sistemul format din ecuațiile dreptei și cercului.

Exemple

Exemplul 1: Se consideră punctele A(2,3) și B(4,7). Să se scrie ecuația dreptei AB.

Rezolvare: Calculăm panta m = (7-3)/(4-2) = 4/2 = 2. Folosind punctul A, ecuația este y - 3 = 2(x - 2) ⇒ y - 3 = 2x - 4 ⇒ y = 2x - 1. Verificare pentru B: 2·4 - 1 = 8-1=7, corect.

Exemplul 2: Fie cercul de ecuație x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0. Să se determine centrul și raza.

Rezolvare: Scriem (x² - 6x) + (y² + 4y) = 12. Completăm pătratele: (x - 3)² - 9 + (y + 2)² - 4 = 12 ⇒ (x - 3)² + (y + 2)² = 25. Deci centrul O(3, -2) și raza R = 5.

Exemplul 3: Să se determine dacă dreapta d: 3x + 4y - 12 = 0 este tangentă, secantă sau exterioară cercului cu centrul în O(1,2) și raza R=4.

Rezolvare: Distanța de la O la d: d = |3·1 + 4·2 - 12| / √(3²+4²) = |3+8-12|/5 = | -1 |/5 = 0.2. Deoarece 0.2 < 4, dreapta este secantă (intersectează cercul în două puncte).

Verifică-te!

1. Care sunt condițiile de paralelism și perpendicularitate între două drepte, exprimate prin pantele lor?
2. Cum se determină centrul și raza unui cerc pornind de la forma generală x² + y² + Dx + Ey + F = 0?
3. Ce relație trebuie să existe între distanța de la centrul cercului la o dreaptă și rază pentru ca dreapta să fie tangentă la cerc?