Algebră: Ecuații și inecuații (gradul I, II, cu modul, cu radicali, exponențiale, logaritmice)

Pe scurt

Ecuațiile și inecuațiile sunt instrumente fundamentale în algebra liceală, prezente atât în subiectele de Bacalaureat, cât și în aplicații practice. Rezolvarea sistematică, cu verificarea domeniului, asigură corectitudinea răspunsurilor. Fiecare tip de ecuație sau inecuație (gradul I, II, cu modul, cu radicali, exponențiale, logaritmice) are reguli specifice de rezolvare.

Ecuații și inecuații de gradul I

• Forma generală a ecuației: ax + b = 0 (a ≠ 0)
• Soluția ecuației: x = -b/a
• Rezolvarea inecuației: se face prin separarea termenilor, păstrând sensul inegalității la înmulțirea cu un număr negativ

Exemplul 1 (gradul I): Rezolvați inecuația 3x - 5 ≥ 7x + 1

• Trecem termenii: 3x - 7x ≥ 1 + 5 ⇒ -4x ≥ 6
• Împărțim la -4 (inversăm sensul) ⇒ x ≤ -6/4 ⇒ x ≤ -3/2
• Soluția: x ∈ (-∞, -3/2]

Ecuații și inecuații de gradul II

• Forma generală a ecuației: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• Rezolvarea cu delta (Δ): Δ = b² - 4ac

- Dacă Δ > 0, avem două rădăcini reale distincte

- Dacă Δ = 0, o rădăcină dublă

- Dacă Δ < 0, soluții complexe

• Rezolvarea inecuațiilor de gradul II: se face prin studiul semnului funcției pătratice, folosind rădăcinile și coeficientul dominant

Ecuații și inecuații cu modul

• Proprietatea de bază: |x| = a (a ≥ 0) ⇒ x = ±a
• Inecuații cu modul:

- |x| < a ⇒ -a < x < a

- |x| > a ⇒ x < -a sau x > a

Exemplul 2 (gradul II cu modul): Rezolvați ecuația |x² - 4| = 5

• Cazul 1: x² - 4 = 5 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3
• Cazul 2: x² - 4 = -5 ⇒ x² = -1, fără soluții reale
• Verificare: pentru x = ±3, |9-4| = 5, corect
• Soluția: x ∈ {-3, 3}

Ecuații și inecuații cu radicali

• Condiția de existență: radicandul ≥ 0
• Rezolvarea: prin ridicare la putere, verificând soluțiile obținute

Ecuații și inecuații exponențiale

• Reducerea la aceeași bază: a^f(x) = a^g(x) ⇒ f(x) = g(x)
• Alternativ: se logaritmează
• Monotonia funcției pentru inecuații:

- Dacă baza > 1, sensul se păstrează

- Dacă 0 < bază < 1, sensul se inversează

Exemplul 3 (exponențială cu logaritmi): Rezolvați ecuația 2^(x+1) = 5

• Logaritmăm natural: (x+1) ln2 = ln5 ⇒ x+1 = ln5/ln2 ⇒ x = (ln5/ln2) - 1
• Se poate lăsa așa sau aproxima numeric
• Verificare: 2^((ln5/ln2)-1+1) = 2^(ln5/ln2) = e^(ln2 * ln5/ln2) = e^(ln5) = 5

Ecuații și inecuații logaritmice

• Condiții de existență:

- Argument > 0

- Bază > 0, bază ≠ 1

• Injectivitatea logaritmului: log_a f(x) = log_a g(x) ⇒ f(x) = g(x)
• Monotonia pentru inecuații:

- Pentru bază > 1, sensul rămâne

- Pentru 0 < bază < 1, sensul se schimbă

Concepte cheie

• Separarea termenilor și regula semnelor la înmulțirea cu numere negative pentru inecuații liniare
• Delta (Δ) și semnul funcției de gradul II
• Condiții de existență și verificare pentru radicali
• Inversarea sensului inegalității la baze subunitare în exponențiale și logaritmice
• Proprietățile modulului: |x| = a ⇒ x = ±a; inecuații cu modul

Verifică-te!

1. Care este soluția ecuației de gradul I ax + b = 0 (a ≠ 0)?
2. Ce condiții de existență trebuie îndeplinite pentru o ecuație logaritmică?
3. Cum se modifică sensul inegalității la o inecuație exponențială cu baza subunitară (0 < bază < 1)?