Pe scurt
Teoria probabilităților studiază fenomenele aleatoare, iar noțiunea centrală este probabilitatea, care măsoară șansa de realizare a unui eveniment. Conform definiției clasice (Laplace), probabilitatea unui eveniment A este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul total al cazurilor posibile, notat P(A) = card(A) / card(Ω). Proprietățile fundamentale includ probabilitatea complementarului, formula de adunare, probabilitatea condiționată și schema lui Bernoulli.
Definiția clasică a probabilității
- Definiția Laplace: Pentru un experiment cu un număr finit de cazuri posibile, egal posibile, probabilitatea unui eveniment A este: P(A) = număr cazuri favorabile / număr cazuri posibile
- Notație: P(A) = card(A) / card(Ω), unde Ω este mulțimea tuturor cazurilor posibile
Exemplul 1: Se aruncă un zar corect de 6 fețe. Care este probabilitatea de a obține un număr par?
- Cazuri posibile: Ω = {1,2,3,4,5,6}, card(Ω) = 6
- Evenimentul A = {2,4,6}, card(A) = 3
- P(A) = 3/6 = 1/2
- Folosind complementar: dacă B = obținerea unui număr impar, P(B) = 1 - P(A) = 1/2
Axiomele probabilității
- Probabilitatea este o funcție P: K → [0,1] care satisface:
-
P(Ω) = 1
- P(∅) = 0
- Pentru evenimente incompatibile (disjuncte) A și B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Proprietăți fundamentale
- Probabilitatea complementarului: P(Ā) = 1 - P(A)
- Formula de adunare pentru evenimente oarecare: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- Probabilitatea condiționată: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), dacă P(B) > 0
- Evenimente independente: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Exemplul 2: Dintr-o urnă cu 5 bile albe și 3 bile negre se extrag simultan 2 bile. Care este probabilitatea ca ambele bile să fie albe?
- Numărul total de cazuri posibile: C(8,2) = 28
- Cazuri favorabile: C(5,2) = 10
- Probabilitatea = 10/28 = 5/14
- Alternativ, folosind probabilități condiționate: prima bilă albă: 5/8, a doua albă după prima: 4/7, produs = 20/56 = 5/14
Formula lui Bayes
- Formula lui Bayes: P(B|P) = P(B ∩ P) / P(P)
- Se aplică pentru calculul probabilității unui eveniment condiționat de altul
Exemplul 3: Într-o clasă, 40% din elevi sunt băieți și 60% sunt fete. 70% dintre băieți și 80% dintre fete au promovat examenul. Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca elevul să fie băiat, știind că a promovat?
- Notăm: B = băiat, P = promovat
- P(B) = 0,4; P(F) = 0,6; P(P|B) = 0,7; P(P|F) = 0,8
- Probabilitatea totală de promovare: P(P) = P(B)·P(P|B) + P(F)·P(P|F) = 0,4·0,7 + 0,6·0,8 = 0,28 + 0,48 = 0,76
- Aplicăm Bayes: P(B|P) = P(B∩P) / P(P) = 0,28 / 0,76 = 28/76 = 7/19 ≈ 0,3684
Schema lui Bernoulli
- Pentru n încercări independente, fiecare cu probabilitatea de succes p
- Probabilitatea de a obține exact k succese este: P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)
- Aceasta definește distribuția binomială
Concepte cheie
- Definiția clasică a probabilității (Laplace): P(A) = număr cazuri favorabile / număr cazuri posibile
- Axiomele probabilității și proprietățile (complementară, adunare, probabilitate condiționată)
- Evenimente independente și dependente
- Formula lui Bayes
- Schema lui Bernoulli și distribuția binomială
- Aplicarea combinațiilor și aranjamentelor în calculul probabilităților
Verifică-te!
- Care este probabilitatea de a obține un număr mai mare decât 4 la aruncarea unui zar corect de 6 fețe?
- Dacă P(A) = 0,3 și P(B) = 0,5, iar A și B sunt evenimente incompatibile, care este valoarea lui P(A ∪ B)?
- În ce condiții două evenimente A și B sunt considerate independente?