Pe scurt
Integrala definită măsoară aria dintre graficul unei funcții continue și axa Ox pe un interval închis [a, b], iar calculul său se bazează pe Teorema fundamentală a calculului integral: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Aplicațiile principale includ calculul ariilor dintre două curbe și al volumelor corpurilor de rotație, utilizând formule specifice și determinarea corectă a punctelor de intersecție.
Definiția și proprietățile integralei definite
- Integrala definită este un concept fundamental al analizei matematice care măsoară efectiv aria cuprinsă între graficul unei funcții continue și axa Ox, pe un interval închis [a, b].
- Conform Teoremei fundamentale a calculului integral, dacă F(x) este o primitivă a funcției f(x), atunci ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a).
- Pentru funcții pozitive pe [a, b], integrala definită reprezintă aria regiunii mărginite de grafic, axa Ox și dreptele verticale x = a, x = b.
- Când funcția este negativă pe o parte a intervalului, integrala va fi negativă, iar pentru a obține aria efectivă se integrează |f(x)| sau se împarte intervalul în subintervale unde semnul este constant.
Calculul ariilor dintre două curbe
- Aria dintre f(x) și g(x) pe [a, b] este ∫_a^b |f(x) - g(x)| dx.
- Pentru a rezolva corect astfel de probleme, este esențial:
- Să se determine
punctele de intersecție ale curbelor
- Să se stabilească ordinea funcțiilor pe interval
- Să se aplice corect formulele
- Se recomandă verificarea rezultatelor cu ajutorul simetriei sau a interpretării geometrice.
Exemplul 1
Calculați aria mărginită de graficul funcției f(x) = x², axa Ox și dreptele x = 0 și x = 2.
- Rezolvare: ∫_0^2 x² dx = (x³/3)_0^2 = (8/3 - 0) = 8/3 u.a.
- Deci aria este 8/3 unități pătrate.
Exemplul 2
Calculați aria dintre curbele f(x) = x² și g(x) = x + 2.
- Mai întâi aflăm intersecția: x² = x + 2 ⇒ x² - x - 2 = 0 ⇒ x₁ = -1, x₂ = 2
- Pe intervalul [-1, 2], g(x) > f(x)
- Aria = ∫_{-1}^2 (x + 2 - x²) dx = (x²/2 + 2x - x³/3)_{-1}^2 = (2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3) = (6 - 8/3) - (-3/2 + 1/3) = (18/3 - 8/3) - (-9/6 + 2/6) = (10/3) - (-7/6) = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 u.a.
Calculul volumelor corpurilor de rotație
- Volumul unui corp de rotație obținut prin rotirea graficului funcției f(x) în jurul axei Ox, pe intervalul [a, b], se calculează cu formula: V = π ∫_a^b [f(x)]² dx
- Pentru rotația în jurul axei Oy, formula analogă implică funcția inversă sau integrarea după y.
Exemplul 3
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a graficului funcției f(x) = √x, 0 ≤ x ≤ 4.
- V = π ∫_0^4 (√x)² dx = π ∫_0^4 x dx = π · (x²/2)_0^4 = π · (16/2 - 0) = 8π u.v.
Verifică-te!
- Ce reprezintă integrala definită pentru o funcție pozitivă pe intervalul [a, b]?
- Cum se calculează aria dintre două curbe f(x) și g(x) pe intervalul [a, b]?
- Care este formula pentru volumul unui corp obținut prin rotirea graficului funcției f(x) în jurul axei Ox?