Pe scurt
O progresie aritmetică (P.A.) este un șir cu diferență constantă între termeni consecutivi, iar o progresie geometrică (P.G.) are raport constant între termeni consecutivi. La Bacalaureat, aceste noțiuni sunt esențiale pentru determinarea termenilor, rației și sumelor, având aplicații în dobânzi compuse și amortizări.
Definiții și proprietăți fundamentale
Progresia aritmetică (P.A.)
- Definiție: Un șir de numere reale în care diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este constantă, numită rație (notată r)
- Termenul general: **a_n = a_1 + (n-1) * r, unde a_1 este primul termen, iar n este rangul termenului
- Suma primilor n termeni: S_n = (n * (a_1 + a_n)) / 2 sau echivalent S_n = n * (2 * a_1 + (n-1) * r) / 2
- Proprietatea mediilor: trei numere a, b, c sunt în P.A. dacă 2b = a + c
- Media aritmetică a doi termeni simetrici față de centru este constantă
Progresia geometrică (P.G.)
- Definiție: Un șir în care raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este constant, numit rație (notat q, q ≠ 0)
- Termenul general: b_n = b_1 * q^(n-1)
- Suma primilor n termeni (dacă q ≠ 1): S_n = b_1 * (q^n - 1) / (q - 1)
- Suma infinită (pentru |q| < 1): S = b_1 / (1 - q)
- Proprietatea mediilor: trei numere a, b, c sunt în P.G. dacă b^2 = a * c
Aplicații la Bacalaureat
- Aceste noțiuni sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor cu șiruri, ecuații, sisteme și aplicații în viața reală (dobânzi compuse, amortizări)
- Se cer de obicei determinarea termenilor, a rației, a sumelor sau a condițiilor de existență
- Se combină cu inegalități sau funcții
- Recomand memorarea formulelor și înțelegerea logicii de deducere a termenilor, mai ales când se dau condiții precum "trei numere sunt în progresie aritmetică și geometrică simultan"
Exemple rezolvate
Exemplul 1 (P.A.)
Fie o progresie aritmetică cu a_3 = 7
și a_6 = 16
. Aflați a_1
și r
.
Rezolvare
: Din formula termenului general
a_3 = a_1 + 2r = 7
a_6 = a_1 + 5r = 16
Scădem ecuațiile:
(a_1+5r) - (a_1+2r) = 16-7
=> 3r = 9
=> r = 3
Atunci
a_1 + 6 = 7
=> a_1 = 1
Verificare:
a_6 = 1 + 15 = 16
, corect
Deci termenul general:
a_n = 1 + (n-1)*3 = 3n - 2
Exemplul 2 (P.G.)
Determinați primul termen și rația unei progresii geometrice știind că b_2 = 6
și b_5 = 48
.
Rezolvare
b_2 = b_1 * q = 6
b_5 = b_1 * q^4 = 48
Împărțim a doua ecuație la prima:
(b_1 * q^4) / (b_1 * q) = 48/6
=> q^3 = 8
=> q = 2
(q real, se acceptă și -2, dar verificăm)
Din
b_1 * 2 = 6
=> b_1 = 3
Verificare:
b_5 = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Deci
b_n = 3 * 2^(n-1)
Exemplul 3 (Aplicație Bac - combinat)
Se consideră numerele x, y, z
, în această ordine, în progresie aritmetică și, în aceeași ordine, în progresie geometrică. Știind că x + y + z = 18
, aflați numerele.
Rezolvare
2y = x + z
Din P.G. avem y^2 = x * z
Suma x + y + z = 18
Din P.A. și sumă:
x + z = 2y
, deci 2y + y = 18
=> 3y = 18
=> y = 6
Atunci
x + z = 12
și x * z = 36
Rezolvând sistemul, găsim
x = z = 6
(soluția dublă)
Deci numerele sunt
6, 6, 6
(progresie constantă)
Concepte cheie
Progresie aritmetică
: termen general a_n = a_1 + (n-1)r
Suma P.A.
: S_n = n(a_1 + a_n)/2
Progresie geometrică
: termen general b_n = b_1 * q^(n-1)
Suma P.G.
: S_n = b_1*(q^n - 1)/(q - 1)
, q≠1
Proprietatea mediilor
: 2b = a + c
(P.A.), b^2 = a*c
(P.G.)
Aplicații**: dobânzi compuse, probleme de optimizare, Bacalaureat
Verifică-te!
- Care este formula termenului general pentru o progresie aritmetică și ce reprezintă fiecare simbol din formulă?
- Cum se verifică dacă trei numere sunt în progresie geometrică?
- Ce condiție trebuie îndeplinită pentru a putea calcula suma infinită a unei progresii geometrice?