Pe scurt
Geometria analitică studiază figurile geometrice cu ajutorul algebrei, utilizând un sistem de coordonate carteziene. În această lecție, sunt abordate două elemente fundamentale: dreapta și cercul, împreună cu ecuațiile, proprietățile și relațiile dintre ele. Noțiunile prezentate sunt frecvent întâlnite în problemele de Bacalaureat, inclusiv în determinarea pozițiilor relative, calculul distanțelor și al ariilor formate de figuri geometrice.
Ecuațiile dreptei
- Forma generală: \(ax + by + c = 0\), unde \(a, b\) nu sunt simultan nuli.
- Forma explicită: \(y = mx + n\), utilă când panta \(m\) este cunoscută, iar \(n\) reprezintă ordonata la origine.
- Panta dreptei: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) exprimă înclinația dreptei.
- Dacă \(m = 0\), dreapta este
orizontală.
- Dacă \(m\) este nedefinit (\(x_1 = x_2\)), dreapta este verticală, cu ecuația \(x = \text{constant}\).
Distanța și unghiul în cazul dreptelor
- Distanța de la un punct \((x_0, y_0)\) la o dreaptă în formă generală se calculează cu formula:
\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
- Unghiul dintre două drepte se determină cu ajutorul pantelor:
\[
\tan \theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|
\]
-
Paralelism: \(m_1 = m_2\)
- Perpendicularitate: \(m_1 \cdot m_2 = -1\)
Ecuațiile cercului
- Forma canonică: \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), unde \((h, k)\) este centrul, iar \(r\) este raza.
- Forma dezvoltată: \(x^2 + y^2 + mx + ny + p = 0\) se reduce la forma canonică prin completarea pătratelor.
- Un cerc este bine determinat dacă se cunosc centrul și raza, sau trei puncte necoliniare.
Intersecția dintre o dreaptă și un cerc
- Intersecția poate da 0, 1 (tangentă) sau 2 puncte, fiind rezolvată printr-un sistem de ecuații.
- Tangenta la cerc se află folosind formula de la distanța de la centru la dreaptă egală cu raza.
Exemple
- Exemplul 1 (dreapta): Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctele \(A(2, 3)\) și \(B(5, 7)\). Calculăm panta \(m = \frac{7-3}{5-2} = \frac{4}{3}\). Folosind forma punct-pantă: \(y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2)\). Înmulțim cu 3: \(3y - 9 = 4x - 8 \Rightarrow 4x - 3y + 1 = 0\). Verificare: \(A: 8 - 9 + 1 = 0\); \(B: 20 - 21 + 1 = 0\).
- Exemplul 2 (cercul): Să se găsească centrul și raza cercului dat de ecuația \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\). Completăm pătratele: \((x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25\). Deci centrul \(C(3, -2)\) și raza \(r = 5\).
- Exemplul 3 (intersecția dreaptă-cerc): Să se afle punctele de intersecție dintre dreapta \(x + y = 2\) și cercul \(x^2 + y^2 = 10\). Din dreaptă \(y = 2 - x\). Înlocuim în cerc: \(x^2 + (2 - x)^2 = 10 \Rightarrow x^2 + 4 - 4x + x^2 = 10 \Rightarrow 2x^2 - 4x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\) sau \(x = -1\). Obținem punctele: \((3, -1)\) și \((-1, 3)\).
Verifică-te!
- Care este formula pentru calculul distanței de la un punct la o dreaptă în formă generală?
- Ce condiție trebuie îndeplinită de pantele a două drepte pentru ca acestea să fie perpendiculare?
- Cum se determină centrul și raza unui cerc atunci când ecuația este dată în formă dezvoltată?