Algebră: Matrice, determinanți și sisteme liniare (teorie Bac, aplicații)

Pe scurt

Matricele sunt tablouri dreptunghiulare de numere pe care se pot efectua operații specifice (adunare, înmulțire, transpunere), iar determinantul este o funcție definită doar pentru matrice pătratice, care indică inversabilitatea acestora. Sistemele liniare de forma AX = B se rezolvă prin metoda lui Cramer sau eliminare gaussiană, iar compatibilitatea lor se stabilește cu criteriul Rouché–Capelli pe baza rangului matricei coeficienților și al matricei extinse.

Definiția și dimensiunile matricelor

Matricele sunt tablouri dreptunghiulare de numere, notate de obicei cu litere mari (A, B, etc.), având m linii și n coloane (dimensiune m×n).

Operații fundamentale cu matrice

• Adunarea – definită doar pentru matrice de aceeași dimensiune, element cu element
• Înmulțirea cu un scalar – înmulțirea fiecărui element cu scalarul respectiv
• Înmulțirea a două matrice – posibilă numai dacă numărul de coloane al primei este egal cu numărul de linii al celei de-a doua; rezultatul are dimensiunea m×p
• Transpusa unei matrice A, notată A^T, se obține prin schimbarea liniilor în coloane

Determinantul

Determinantul este o funcție definită pentru matrice pătratice, notat det(A) sau |A|. Se calculează prin:

• Dezvoltare după o linie sau coloană
• Regula lui Sarrus (pentru matrice 3×3)
• Proprietăți de liniaritate

Un determinant nul indică o matrice singulară (neinversabilă).

Inversa unei matrice

Inversa unei matrice pătratice A există dacă det(A) ≠ 0 și se calculează cu formula:

A⁻¹ = (1/det(A)) · adj(A), unde adj(A) este matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor).

Sisteme liniare

Sistemele liniare de forma AX = B se rezolvă prin

• Metoda lui Cramer – X = A⁻¹B, unde A este matricea coeficienților, X coloana necunoscutelor, B coloana termenilor liberi
• Eliminarea gaussiană

Metoda lui Cramer: pentru un sistem de n ecuații cu n necunoscute, fiecare necunoscută xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), unde Aᵢ se obține înlocuind coloana i cu B.

Dacă det(A) = 0, sistemul poate fi

• Incompatibil (fără soluții)
• Nedeterminat (infinit de soluții)

Rangul matricei A și al matricei extinse (A|B) oferă criteriul de compatibilitate (Rouché–Capelli).

În liceu, accentul cade pe sisteme 2×2 și 3×3, cu coeficienți reali sau parametri.

Aplicații

• Geometria analitică (ecuații de drepte, plane, intersecții)
• Criptografia elementară (codificare cu matrice)
• Probleme economice (model Leontief)

Exemple

Exemplul 1: Calculați determinantul matricei A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]].

Folosim regula lui Sarrus

det(A) = 1·5·10 + 2·6·7 + 3·4·8 - 3·5·7 - 1·6·8 - 2·4·10 = 50 + 84 + 96 - 105 - 48 - 80 = 230 - 233 = -3

Exemplul 2: Rezolvați sistemul: 2x + y = 5, 3x - y = 0, prin metoda lui Cramer.

Matricea coeficienților A = [[2, 1], [3, -1]], det(A) = 2·(-1) - 1·3 = -2 - 3 = -5

det(Aₓ) = [[5, 1], [0, -1]] = 5·(-1) - 1·0 = -5, deci x = det(Aₓ)/det(A) = (-5)/(-5) = 1

det(Aᵧ) = [[2, 5], [3, 0]] = 2·0 - 5·3 = -15, y = (-15)/(-5) = 3

Soluția: x=1, y=3

Exemplul 3: Calculați inversa matricei A = [[1, 2], [3, 4]].

det(A) = 1·4 - 2·3 = 4 - 6 = -2

Matricea cofactorilor: C = [[4, -3], [-2, 1]]

Adjuncta = transpusa lui C = [[4, -2], [-3, 1]]

Inversa: A⁻¹ = (1/-2) · [[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [1.5, -0.5]]

Verificare: A·A⁻¹ = [[1,2],[3,4]]·[[-2,1],[1.5,-0.5]] = [[1·(-2)+2·1.5, 1·1+2·(-0.5)], [3·(-2)+4·1.5, 3·1+4·(-0.5)]] = [[-2+3, 1-1], [-6+6, 3-2]] = [[1,0],[0,1]]

Verifică-te!

1. Care este condiția pentru ca două matrice să poată fi adunate?
2. Ce indică un determinant nul pentru o matrice pătratică?
3. Cum se modifică matricea coeficienților pentru a calcula determinantul corespunzător unei necunoscute prin metoda lui Cramer?