Pe scurt
Sistemele de ecuații liniare se rezolvă prin trei metode principale: Cramer (doar pentru sisteme pătratice cu determinant nenul), Gauss (universală, prin operații elementare) și studiul cu rang (teorema Kronecker-Capelli). Soluțiile pot fi unice, infinite sau inexistente, în funcție de rangul matricei coeficienților și al matricei extinse.
Sisteme de ecuații liniare – definiție și notații
Un sistem liniar de
m ecuații cu
n necunoscute se scrie sub forma
A·x = b, unde:
- A este matricea coeficienților (dimensiune m×n)
- x este vectorul coloană al necunoscutelor (n×1)
- b este vectorul termenilor liberi (m×1)
Metoda lui Cramer
- Se aplică strict sistemelor pătratice (m = n) cu det(A) ≠ 0
- Soluția se obține prin raportul determinanților: x_i = det(A_i) / det(A), unde A_i se obține înlocuind coloana i cu vectorul b
- Oferă o cale rapidă pentru sisteme mici, dar este ineficientă pentru dimensiuni mari
Exemplu (sistem 2×2): Rezolvați sistemul: 2x + 3y = 7, 4x – y = 1.
- Δ = det([[2,3],[4,-1]]) = 2·(-1) – 3·4 = -2 – 12 = -14 ≠ 0
- Δ_x = det([[7,3],[1,-1]]) = 7·(-1) – 3·1 = -7 – 3 = -10; x = -10/(-14) = 5/7
- Δ_y = det([[2,7],[4,1]]) = 2·1 – 7·4 = 2 – 28 = -26; y = -26/(-14) = 13/7
- Soluția: (5/7, 13/7). Verificare: 2·(5/7) + 3·(13/7) = 10/7 + 39/7 = 49/7 = 7; 4·(5/7) – (13/7) = 20/7 – 13/7 = 7/7 = 1. Corect.
Metoda Gauss (eliminarea Gauss-Jordan)
- Este universală – se aplică oricărui sistem
- Transformă matricea extinsă (A|b) într-o formă echelon (triunghiulară) prin operații elementare:
- Înmulțirea unei linii cu scalar nenul
- Adunarea unei linii multiplu la altă linie
- Interschimbarea liniilor
- Este preferată pentru generalitate și stabilitate numerică
Exemplu (sistem 3×3, soluție unică): Rezolvați sistemul: x + y + z = 6, 2x – y + z = 3, x + 2y – z = 2.
- Matricea extinsă: [1 1 1 | 6; 2 -1 1 | 3; 1 2 -1 | 2]
- Operații: L2 = L2 – 2L1 → [1 1 1 | 6; 0 -3 -1 | -9; 1 2 -1 | 2]; L3 = L3 – L1 → [1 1 1 | 6; 0 -3 -1 | -9; 0 1 -2 | -4]
- L3 = 3·L3 + L2: înmulțim L3 cu 3 → [0 3 -6 | -12]; apoi L3 = L3 + L2 → [0 0 -7 | -21]; rezultă -7z = -21 → z = 3
- Substituim: -3y – 3 = -9 → -3y = -6 → y = 2; x + 2 + 3 = 6 → x = 1
- Soluția: (1, 2, 3)
Studiul cu rang (teorema Kronecker-Capelli)
- Sistemul are soluție dacă și numai dacă rang(A) = rang(A|b)
- Clasificare soluții:
-
Compatibil determinat: rang = numărul de necunoscute (soluție unică)
- Compatibil nedeterminat: rang < numărul de necunoscute (infinitate de soluții parametrizate)
- Incompatibil: rang(A) ≠ rang(A|b) (nicio soluție)
- Studiul rangului oferă o perspectivă teoretică profundă, pregătind terenul pentru spații vectoriale și aplicații liniare
Exemplu (sistem incompatibil): Studiați compatibilitatea: 2x – y = 5, 4x – 2y = 7.
- Matricea A = [[2,-1],[4,-2]]; liniile sunt proporționale (2·[2,-1] = [4,-2]), deci rang(A) = 1
- Matricea extinsă (A|b) = [[2,-1,5],[4,-2,7]]; 2·[2,-1,5] = [4,-2,10], dar avem [4,-2,7], deci nu este combinație; rang(A|b) = 2
- rang(A) ≠ rang(A|b) → sistemul este incompatibil (nu are soluție)
- Geometric, cele două drepte sunt paralele distincte
Interpretare geometrică
- Fiecare ecuație reprezintă o dreaptă în plan (sisteme 2×2) sau un plan în spațiu (sisteme 3×3)
- Intersecția acestora dă soluțiile sistemului
Concepte cheie
- Sistem liniar: A·x = b, matrice coeficienți, vector necunoscute, termeni liberi
- Metoda lui Cramer: sisteme pătratice, determinant nenul, raport de determinanți
- Metoda Gauss: eliminare prin operații elementare, formă echelon
- Teorema Kronecker-Capelli: compatibilitate bazată pe rangul matricei A și al matricei extinse
- Clasificare soluții: compatibil determinat (rang = n), compatibil nedeterminat (rang < n), incompatibil (rang A ≠ rang A|b)
- Interpretare geometrică: drepte, plane, intersecții
Verifică-te!
- Ce condiție trebuie îndeplinită pentru a aplica metoda lui Cramer?
- Care este diferența dintre rang(A) și rang(A|b) într-un sistem incompatibil?
- Ce reprezintă geometric fiecare ecuație dintr-un sistem 3×3?