Pe scurt
O funcție este o lege de corespondență care asociază fiecărui element dintr-o mulțime A (domeniul) un unic element dintr-o mulțime B (codomeniul). Proprietățile fundamentale includ injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea, iar monotonia descrie comportamentul funcției pe un interval. Funcțiile bijective sunt importante deoarece admit inversă.
Definiția funcției
O funcție este o lege de corespondență care asociază fiecărui element dintr-o mulțime A (domeniul) un unic element dintr-o mulțime B (codomeniul). Notația standard este
f : A → B, iar pentru x ∈ A,
f(x) ∈ B reprezintă imaginea lui x. Domeniul de definiție poate fi restricționat în funcție de context (de exemplu, funcții reale de variabilă reală).
Proprietăți fundamentale
- Injectivitatea: f(x₁) = f(x₂) implică x₁ = x₂
- Surjectivitatea: pentru orice y ∈ B există x ∈ A astfel încât f(x) = y
- Bijectivitatea: funcție atât injectivă cât și surjectivă
Monotonia funcțiilor
Monotonia se referă la comportamentul funcției pe un interval:
- Strict crescătoare: dacă pentru x₁ < x₂ avem f(x₁) < f(x₂)
- Strict descrescătoare: dacă pentru x₁ < x₂ avem f(x₁) > f(x₂)
- Constantă: dacă f(x₁) = f(x₂) pentru orice x₁, x₂
O funcție poate fi monotonă pe un interval și nemonotonă pe altul. Pentru a determina monotonia, se poate folosi derivata (dacă funcția este derivabilă): f'(x) > 0 indică creștere, f'(x) < 0 indică descreștere.
Funcția inversă
Funcțiile bijective sunt importante deoarece admit inversă: dacă
f : A → B este bijectivă, atunci există
f⁻¹ : B → A cu f⁻¹(f(x)) = x și f(f⁻¹(y)) = y.
Exemple clasice
- Funcția liniară f(x) = ax + b este bijectivă pentru a ≠ 0
- Funcția pătratică f(x) = x² nu este injectivă pe R, dar poate fi făcută injectivă prin restricționarea domeniului (de exemplu pe [0, ∞))
Aplicații și cerințe la Bacalaureat
În algebră, funcțiile sunt folosite pentru a studia ecuații, inegalități, compunerea de funcții și trasarea graficelor. La Bacalaureat, se cer cunoștințe despre:
- Domeniu, codomeniu
- Intersecția graficului cu axele
- Monotonia, bijectivitatea
- Calculul inversei pentru funcții elementare
Exemple rezolvate
Exemplul 1: Fie f: R → R, f(x) = 2x + 3. Să se verifice dacă f este bijectivă.
- Injectivitate: Presupunem f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 3 = 2x₂ + 3 ⇒ 2x₁ = 2x₂ ⇒ x₁ = x₂, deci injectivă
- Surjectivitate: Pentru orice y ∈ R, căutăm x astfel încât f(x) = y ⇒ 2x + 3 = y ⇒ x = (y - 3)/2 ∈ R, deci surjectivă
- Concluzie: f este bijectivă. Inversa: f⁻¹(y) = (y - 3)/2
Exemplul 2: Să se studieze monotonia funcției f: [0, ∞) → R, f(x) = x².
- Fie x₁, x₂ ∈ [0, ∞) cu x₁ < x₂. Atunci f(x₁) - f(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ - x₂)(x₁ + x₂)
- Cum x₁ - x₂ < 0 și x₁ + x₂ > 0, rezultă f(x₁) - f(x₂) < 0, deci f(x₁) < f(x₂)
- Așadar f este strict crescătoare pe [0, ∞)
- Alternativ, derivata f'(x) = 2x > 0 pentru x > 0, deci strict crescătoare
- Notă: Pe R, f(x) = x² nu este monotonă (descrește pe (-∞, 0] și crește pe [0, ∞))
Exemplul 3: Fie f: R → R, f(x) = x³ - x. Să se determine intervalul pe care f este strict crescătoare.
- Calculăm derivata f'(x) = 3x² - 1
- Rezolvăm 3x² - 1 > 0 ⇒ x² > 1/3 ⇒ x ∈ (-∞, -1/√3) ∪ (1/√3, ∞)
- Deci f este strict crescătoare pe acele intervale
- Pe intervalul (-1/√3, 1/√3), f'(x) < 0, deci strict descrescătoare
- Verificăm injectivitatea: Deoarece funcția nu este monotonă pe întreg domeniul, nu este injectivă pe R
- Bijectivitatea nu este îndeplinită, dar restricția la un interval de monotonie poate fi injectivă
Verifică-te!
- Care este condiția necesară pentru ca o funcție să fie injectivă?
- Ce proprietate trebuie să aibă o funcție pentru a admite inversă?
- Cum se determină monotonia unei funcții derivabile pe un interval?