Pe scurt
Funcția de gradul I, f(x)=ax+b (a≠0), are graficul o dreaptă, iar monotonia și semnul sunt dictate de coeficientul a. Funcția de gradul al II-lea, f(x)=ax²+bx+c (a≠0), are graficul o parabolă, iar proprietățile sale (vârf, rădăcini, semn, monotonie) depind de coeficienți și de discriminantul Δ. Stăpânirea acestor două funcții este fundamentală pentru înțelegerea matematicii de liceu și pentru rezolvarea problemelor de Bacalaureat.
Definiții și forme generale
- Funcția de gradul I: f(x)=ax+b, cu a,b∈ℝ, a≠0. Reprezintă cea mai simplă relație liniară între două variabile.
- Funcția de gradul al II-lea: f(x)=ax²+bx+c, cu a≠0. Este un caz particular de funcție polinomială.
Graficul funcțiilor
- Funcția de gradul I: Graficul este o dreaptă care intersectează axa Oy în punctul (0,b) și are panta a.
- Funcția de gradul al II-lea: Graficul este o parabolă.
- Parametrul
a determină deschiderea
- a>0 → parabola este convexă (trage în sus), are minim
- a<0 → parabola este concavă (trage în jos), are maxim
- Vârful parabolei se află în punctul V(-b/(2a), -Δ/(4a)), unde Δ=b²-4ac
- b=0 implică simetrie față de axa Oy
- c este ordonata la origine
Rădăcinile (zerourile) funcțiilor
- Funcția de gradul I: Se obțin rezolvând ax+b=0 → x=-b/a
- Funcția de gradul al II-lea: Se calculează cu formula x₁,₂=[-b±√Δ]/(2a)
-
Natura rădăcinilor depinde de semnul lui Δ
- Δ>0 → două rădăcini reale distincte
- Δ=0 → o rădăcină dublă
- Δ<0 → două rădăcini complexe conjugate
Monotonia
- Funcția de gradul I: Monotonia se determină studiind semnul lui a:
- a>0 → funcția este
strict crescătoare pe ℝ
- a<0 → funcția este strict descrescătoare pe ℝ
- Funcția de gradul al II-lea: Monotonia pe intervale:
- Pentru a>0: descrescătoare până la vârf, crescătoare după vârf
- Pentru a<0: crescătoare până la vârf, descrescătoare după vârf
Semnul funcțiilor
- Funcția de gradul I: Semnul se stabilește pe intervale în funcție de rădăcină și de panta a
- Funcția de gradul al II-lea (semnul trinomului):
-
Δ>0: între rădăcini semn contrar lui a, în afara rădăcinilor același semn cu a
- Δ=0: semnul lui a peste tot, exceptând rădăcina
- Δ<0: semnul lui a pe toată axa
Aplicații în probleme de Bacalaureat
- Intersecții cu axele
- Semnul funcției pe intervale
- Studiul unui sistem de două funcții liniare
- Determinarea ecuației dreptei sau parabolei din condiții geometrice (puncte date, tangentă, intersecții)
- Optimizări (aria maximă, distanța minimă)
- Sisteme de tip funcție liniară și pătratică
- Funcții compuse sau parametrizate (un parametru real modifică forma graficului)
Exemple
- Exemplul 1: Funcția de gradul I f(x)=2x-4. a=2>0 → funcție strict crescătoare pe ℝ. Zeroul: 2x-4=0 → x=2. Intersecția cu Ox: (2,0); cu Oy: (0,-4). Semnul: f(x)>0 pentru x>2, f(x)<0 pentru x<2.
- Exemplul 2: Funcția de gradul al II-lea f(x)=x²-4x+3. a=1, b=-4, c=3. Δ=16-12=4. Rădăcinile: x₁=(4-2)/2=1, x₂=(4+2)/2=3. Vârful: x_V=4/2=2, y_V=f(2)=4-8+3=-1 → V(2,-1). a>0 → parabola are minim în V. Semnul: între rădăcini (1,3) funcția este negativă, în afara lor pozitivă. Intersecția cu Oy: (0,3).
- Exemplul 3: Funcția de gradul al II-lea g(x)=-2x²+4x+1. a=-2<0 → parabola este concavă. Vârful: x_V=-b/(2a)=-4/(2*(-2))=-4/(-4)=1. y_V=g(1)=-2+4+1=3. Maximul funcției este 3, atins la x=1. Monotonia: crescătoare pe (-∞,1] și descrescătoare pe [1,∞).
Verifică-te!
- Care este formula pentru calculul vârfului unei parabole asociate funcției de gradul al II-lea?
- Cum se determină monotonia unei funcții de gradul I?
- Ce condiție trebuie îndeplinită pentru ca o funcție de gradul al II-lea să aibă două rădăcini reale distincte?