Geometrie: Conice (cercul, elipsa, hiperbola, parabola - ecuații canonice, tangente)

Conicele sunt curbe plane obținute prin intersectarea unui con circular dublu cu un plan. În funcție de unghiul planului față de axa conului, rezultă: cercul, elipsa, parabola sau hiperbola. Fiecare conică poate fi descrisă printr-o ecuație de gradul al doilea în coordonatele carteziene (x, y).

1. Cercul: Locul geometric al punctelor dintr-un plan, situate la o distanță constantă (raza R) față de un punct fix (centru). Ecuația canonică: (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2, unde (h, k) sunt coordonatele centrului. Pentru cerc cu centrul în origine: x^2 + y^2 = R^2. Tangenta într-un punct (x0, y0) pe cerc are ecuația: (x - h)(x0 - h) + (y - k)(y0 - k) = R^2 (sau x·x0 + y·y0 = R^2 pentru centru în origine).

1. Elipsa: Locul geometric al punctelor cu suma distanțelor la două puncte fixe (focare) constantă. Ecuația canonică cu centrul în origine și axele de simetrie pe axele de coordonate: x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1, unde a > b > 0 pentru axa mare orizontală; a este semiaxa mare, b semiaxa mică. Focarele sunt situate la distanța c = √(a^2 - b^2) față de centru, pe axa mare. Tangenta în punctul (x0, y0) de pe elipsă: (x·x0) / a^2 + (y·y0) / b^2 = 1.

1. Hiperbola: Locul geometric al punctelor cu diferența distanțelor la două puncte fixe (focare) constantă (în valoare absolută). Ecuația canonică (cu centrul în origine, focare pe axa Ox): x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1. Focarele sunt la distanța c = √(a^2 + b^2). Hiperbola are două ramuri și asimptote: y = ±(b/a)·x. Tangenta în (x0, y0): (x·x0) / a^2 - (y·y0) / b^2 = 1.

1. Parabola: Locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix (focar) și de o dreaptă fixă (directoare). Ecuația canonică (cu vârful în origine, focarul pe axa Ox): y^2 = 2px, unde p > 0 este distanța de la vârf la focar (sau la directoare). Focarul este F(p/2, 0), iar directoarea x = -p/2. Tangenta în (x0, y0): y·y0 = p(x + x0).

Ecuația tangentei la o conică se obține prin dedublare: se înlocuiește x^2 cu x·x0, y^2 cu y·y0, termenii liberi rămân neschimbați. Aceste proprietăți sunt esențiale pentru problemele de Bacalaureat, unde se cere determinarea ecuației tangentei, a normalelor sau intersecțiilor cu axele.

Exemple

• Exemplul 1 (Cercul): Fie cercul cu ecuația x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0. Determinați centrul și raza, apoi ecuația tangentei în punctul A(5, 1). Rezolvare: Completăm pătratele: (x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12 → (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 → (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25. Deci centrul C(2, -3), R = 5. Verificăm că A aparține cercului: (5-2)^2+(1+3)^2=9+16=25, corect. Tangenta: (x - 2)(5 - 2) + (y + 3)(1 + 3) = 25 → 3(x-2) + 4(y+3) = 25 → 3x + 4y +6 = 25 → 3x+4y-19=0.
• Exemplul 2 (Elipsa): Considerăm elipsa x^2/25 + y^2/9 = 1. Calculați coordonatele focarelor și ecuația tangentei în punctul M(5/2, (3√3)/2). Rezolvare: a^2=25 ⇒ a=5; b^2=9 ⇒ b=3; c^2 = a^2 - b^2 = 16 ⇒ c=4. Focarele: F1(-4,0), F2(4,0). Punctul M verifică ecuația: (25/4)/25 + (27/4)/9 = 1/4 + 3/4 = 1. Tangenta: (x·5/2)/25 + (y·3√3/2)/9 = 1 → (x/10) + (y√3/6) = 1. Amplificăm cu 30: 3x + 5√3 y = 30.
• Exemplul 3 (Parabola și hiperbola): a) Parabola y^2 = 8x are vârful în origine și focarul F(2,0) deoarece 2p=8 ⇒ p=4, focar (p/2=2,0). Tangenta în punctul A(2,4) (verifică 4^2=8·2) este: y·4 = 4(x+2) → 4y = 4x+8 → y = x+2. b) Hiperbola x^2/16 - y^2/9 = 1 are a=4, b=3, c=5, focare la (±5,0). Asimptotele: y = ±(3/4)x. Tangenta în punctul B(8, 3√3) (se verifică: 64/16 - 27/9 = 4-3=1) este: (x·8)/16 - (y·3√3)/9 = 1 → x/2 - (y√3)/3=1 → 3x - 2√3 y = 6.

Concepte cheie: Ecuațiile canonice ale cercului, elipsei, hiperbolei și parabolei, Metoda dedublării pentru ecuația tangentei, Relația dintre parametrii conicelor (focare, vârfuri, asimptote), Condiția de tangență a unei drepte la o conică, Intersecțiile conicelor cu axele de coordonate