Pe scurt
Logica propozițională studiază modul în care propozițiile simple se combină pentru a forma propoziții compuse, folosind operatori logici precum negația, conjuncția, disjuncția, implicația și echivalența. Fiecare propoziție are o valoare de adevăr: adevărat (A, 1) sau fals (F, 0). Înțelegerea proprietăților acestor operatori, cum ar fi comutativitatea, asociativitatea, distributivitatea și legile lui De Morgan, este fundamentală pentru rezolvarea problemelor de logică.
Operatorii logici de bază
Negația (¬)
- Negația (¬P) inversează valoarea de adevăr a propoziției P: dacă P este adevărat, ¬P este fals, și invers.
Conjuncția (∧)
- Conjuncția (P ∧ Q) este adevărată doar când ambele propoziții sunt adevărate; altfel, este falsă.
Disjuncția (∨)
- Disjuncția (P ∨ Q) este adevărată dacă cel puțin una dintre propoziții este adevărată; este falsă doar când ambele sunt false.
Implicația (→)
- Implicația (P → Q) este o relație condiționată: este falsă doar când P este adevărat și Q este fals; în toate celelalte cazuri (P fals, indiferent de Q, sau ambele adevărate), implicația este adevărată.
Echivalența (↔)
- Echivalența (P ↔ Q) este adevărată când P și Q au aceeași valoare de adevăr (ambele adevărate sau ambele false).
Proprietăți importante ale operatorilor logici
- Comutativitatea conjuncției și disjuncției: P∧Q ≡ Q∧P, P∨Q ≡ Q∨P
- Asociativitatea conjuncției și disjuncției
- Distributivitatea: P∧(Q∨R) ≡ (P∧Q)∨(P∧R)
- Legile lui De Morgan: ¬(P∧Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q și ¬(P∨Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q
- Legile de eliminare a implicației: P→Q ≡ ¬P ∨ Q
- Legile de eliminare a echivalenței: P↔Q ≡ (P→Q) ∧ (Q→P)
Exemple practice
- Exemplul 1: Fie P = 'Plouă' (A), Q = 'Este frig' (F). Să se calculeze ¬(P ∧ Q). Rezolvare: P∧Q este A ∧ F = F, apoi ¬(F) = A. Deci ¬(P∧Q) este adevărat.
- Exemplul 2: Determinați valoarea de adevăr a propoziției (P → Q) ∧ (Q → P) pentru P=A, Q=F. Calculăm P→Q = A→F = F, apoi Q→P = F→A = A. Acum F ∧ A = F. Expresia este falsă.
- Exemplul 3: Demonstrați echivalența ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q (De Morgan). Tabel de adevăr: P=F,Q=F -> stânga: ¬(F)=A, dreapta: A∧A=A; P=F,Q=A -> stânga: ¬(A)=F, dreapta: A∧F=F; P=A,Q=F -> stânga: ¬(A)=F, dreapta: F∧A=F; P=A,Q=A -> stânga: ¬(A)=F, dreapta: F∧F=F. Toate liniile coincid, deci echivalența este corectă.
Concepte cheie
- Negație (¬)
- Conjuncție (∧) și Disjuncție (∨)
- Implicație (→) și Echivalență (↔)
- Legile lui De Morgan
- Comutativitate, asociativitate, distributivitate
Verifică-te!
- Care este valoarea de adevăr a conjuncției (P ∧ Q) atunci când P este adevărat și Q este fals?
- În ce condiție este falsă implicația (P → Q)?
- Ce exprimă prima lege a lui De Morgan (¬(P∧Q) ≡ ?)