Tabele de adevăr și formule logice (tautologii, contradicții, contingente)

Pe scurt

Tabelele de adevăr sunt instrumentul fundamental al logicii propoziționale, prin care se determină valoarea de adevăr a unei formule compuse pentru toate combinațiile posibile ale variabilelor. O formulă poate fi tautologie (adevărată în toate cazurile), contradicție (falsă în toate cazurile) sau contingentă (uneori adevărată, alteori falsă). Stăpânirea acestor concepte este esențială pentru Bacalaureat și pentru înțelegerea argumentației formale.

Operatorii logici de bază

Fiecare propoziție simplă (notată cu litere precum p, q, r) poate fi adevărată (A sau 1) sau falsă (F sau 0). Operatorii logici de bază sunt:

• Negația (¬, „non”) – inversează valoarea de adevăr
• Conjuncția (∧, „și”) – adevărată doar când ambii operanzi sunt adevărați
• Disjuncția (∨, „sau”) – adevărată dacă cel puțin un operand este adevărat
• Implicația (→, „dacă... atunci”) – falsă doar când antecedentul este adevărat și consecventul fals
• Echivalența (↔, „dacă și numai dacă”) – adevărată când ambii operanzi au aceeași valoare

Tipuri de formule logice

• Tautologie (lege logică) – formulă adevărată pentru orice interpretare a variabilelor
• Contradicție – formulă falsă pentru orice interpretare a variabilelor
• Formulă contingentă – formulă uneori adevărată, alteori falsă, în funcție de valorile variabilelor

Proprietăți și concepte avansate

Pentru Bacalaureat, este esențial să poți construi tabele de adevăr complete, să identifici tipul formulei și să aplici proprietăți precum:

• Legile lui De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
• Comutativitatea, asociativitatea, distributivitatea
• Echivalența logică
• Modus ponens
• Forma normală conjunctivă (CNF) și disjunctivă (DNF) – utile pentru simplificare și demonstrarea tautologiilor

Observație importantă: Implicația materială p → q nu este aceeași cu implicația logică; în logica propozițională, p → q este falsă doar când p este A și q este F.

Exemple practice

Exemplul 1: Verificați dacă formula (p → q) ∨ (q → p) este tautologie.

• Se construiește tabelul cu variabilele p și q (4 combinații)
• Pentru fiecare rând, se calculează p → q: fals doar când p=1 și q=0
• Se calculează q → p: fals doar când q=1 și p=0
• Se face disjuncția: adevărată dacă cel puțin una din implicații este adevărată
• În toate cele 4 combinații, cel puțin una dintre implicații este adevărată (de exemplu, când p=1, q=0: p→q=0, dar q→p=1)
• Disjuncția este întotdeauna 1, deci formula este tautologie

Exemplul 2: Fie formula ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q). Construiți tabelul de adevăr.

• Variabile: p, q (4 rânduri)
• Calculați p∧q, apoi ¬(p∧q)
• Calculați ¬p, ¬q, apoi ¬p∨¬q
• Comparați coloanele: pentru fiecare rând, valorile sunt identice (ambii 0 sau ambii 1)
• Formula este tautologie, demonstrând una din legile lui De Morgan

Exemplul 3: Determinați natura formulei (p ∨ q) ∧ ¬p.

• Tabelul:

- p=0, q=1: p∨q=1, ¬p=1, conjuncția=1

- p=1, q=0: p∨q=1, ¬p=0, conjuncția=0

- p=1, q=1: p∨q=1, ¬p=0, conjuncția=0

• Formula este adevărată doar în cazul p=0, q=1, deci este o formulă contingentă

Verifică-te!

1. Care este diferența dintre o tautologie și o contradicție în ceea ce privește valorile de adevăr pentru toate interpretările variabilelor?

1. În ce condiție este falsă o implicație materială de forma p → q?

1. Ce reprezintă legile lui De Morgan în logica propozițională?