Pe scurt
Logica propozițiilor studiază propozițiile și conexiunile dintre acestea prin operatori logici, iar simbolizarea transformă enunțurile din limbaj natural în formule logice. Tabelul de adevăr este metoda sistematică de a determina valoarea de adevăr a unei formule compuse pentru toate combinațiile posibile. O formulă poate fi tautologie (adevărată în toate cazurile), contradicție (falsă în toate cazurile) sau contingență (mixtă).
Simbolizarea propozițiilor
Simbolizarea presupune transformarea enunțurilor din limbaj natural în formule logice, folosind:
- Litere pentru propoziții simple: P, Q, R
- Simboluri pentru operatori logici:
- ¬ (negație, „non”)
- ∧ (conjuncție, „și”)
- ∨ (disjuncție, „sau”)
- → (implicație, „dacă...atunci”)
- ↔ (echivalență, „dacă și numai dacă”)
Construirea tabelelor de adevăr
Tabelul de adevăr este o metodă sistematică de a determina valoarea de adevăr a unei formule compuse pentru toate combinațiile posibile de valori ale propozițiilor simple (Adevărat = 1, Fals = 0).
Reguli de construire:
- Se construiește tabelul cu toate combinațiile de valori (2^n rânduri, unde n = numărul de propoziții simple)
- Se evaluează pas cu pas subformulele
- Se analizează coloana finală
Ordinea operatorilor:
- Negația se aplică prima
- Conjuncția/Disjuncția
- Implicația/Echivalența
- Parantezele modifică prioritatea
Tipuri de formule logice
- Tautologie: formulă adevărată pentru orice combinație de valori (ex: P ∨ ¬P – principiul terțului exclus)
- Contradicție: formulă falsă pentru orice combinație (ex: P ∧ ¬P)
- Contingență: formulă care poate fi atât adevărată, cât și falsă, în funcție de valorile propozițiilor componente (ex: P ∧ Q)
Analiza coloanei finale:
- Toate valorile sunt 1 → tautologie
- Toate valorile sunt 0 → contradicție
- Valori mixte → contingență
Exemple practice
Exemplul 1 (Simbolizare și tabel de adevăr):
Enunț: „Dacă plouă sau ninge, atunci nu mergem la picnic și stăm acasă.”
- Fie P = „Plouă”, Q = „Ninge”, R = „Mergem la picnic”, S = „Stăm acasă”
- Simbolizare: (P ∨ Q) → (¬R ∧ S)
- Tabel: 4 propoziții (16 rânduri), dar pentru simplificare, grupăm: P ∨ Q, ¬R, ¬R ∧ S, apoi implicația
- Se evaluează fiecare rând: de exemplu, dacă P=1, Q=0, R=1, S=0 ⇒ P∨Q=1, ¬R=0, ¬R∧S=0, implicația 1→0 = 0 (fals)
- Formula este contingentă
Exemplul 2 (Identificare tautologie):
Formula: (P → Q) ∨ (Q → P)
- P=0, Q=0 ⇒ P→Q=1, Q→P=1, disjuncția=1
- P=0, Q=1 ⇒ 1 ∨ 0 =1
- P=1, Q=0 ⇒ 0 ∨ 1 =1
- P=1, Q=1 ⇒ 1 ∨ 1 =1
- Toate valorile sunt 1, deci este tautologie („legea lui Duns Scot” sau „principiul medierii”)
Exemplul 3 (Contradicție și contingență):
Formula (P ∧ (P → Q)) ∧ ¬Q
- P=0, Q=0 ⇒ P∧(P→Q)=0∧1=0, apoi 0∧1=0
- P=0, Q=1 ⇒ 0∧1=0, 0∧0=0
- P=1, Q=0 ⇒ 1∧0=0, 0∧1=0
- P=1, Q=1 ⇒ 1∧1=1, 1∧0=0
- Toate 0 → contradicție
Formula P ∨ Q este contingentă (are valori mixte: 0,1,1,1)
Verifică-te!
- Care este diferența dintre o tautologie și o contingență din punctul de vedere al valorilor din tabelul de adevăr?
- În ce ordine se aplică operatorii logici atunci când se evaluează o formulă compusă?
- Câte rânduri va avea tabelul de adevăr pentru o formulă care conține 3 propoziții simple?