Vectori in plan si operatii cu vectori

Pe scurt

Un vector în plan este un segment orientat caracterizat prin direcție, sens și modul (lungime). Operațiile fundamentale cu vectori sunt adunarea, scăderea și înmulțirea cu un scalar, iar produsul scalar permite calcularea unghiului dintre doi vectori. În geometria analitică, vectorii se reprezintă în coordonate carteziene și au aplicații importante în determinarea coliniarității, paralelismului și centrului de greutate.

Definiția și reprezentarea vectorilor

Un vector în plan este un segment orientat, caracterizat prin

• Direcție
• Sens
• Modul (lungime)

Notația uzuală este AB (cu săgeată deasupra) sau v. Vectorii sunt liberi dacă nu depind de punctul de aplicație. În geometria analitică, îi reprezentăm în coordonate carteziene.

Fie un vector v = (x, y). Modulul său este:

• |v| = √(x² + y²)

Doi vectori sunt egali dacă au aceleași componente. Vectorul nul are componentele (0,0).

Operații cu vectori

Adunarea vectorilor

• Se adună componentele corespunzătoare
• Exemplu: u = (2, -1), v = (3, 4) → u + v = (5, 3)

Scăderea vectorilor

• Se scad componentele corespunzătoare
• Exemplu: 2u - 3v = (4, -2) - (9, 12) = (-5, -14)

Înmulțirea cu un scalar

• k · (x, y) = (kx, ky)
• Exemplu: 2u = (4, -2)

Produsul scalar

Pentru vectorii u = (x₁, y₁) și v = (x₂, y₂):

• u · v = x₁·x₂ + y₁·y₂
• Rezultatul este un scalar

Aplicații ale produsului scalar:

• Calculul unghiului dintre vectori: cos θ = (u·v) / (|u|·|v|)
• Dacă produsul scalar este 0, vectorii sunt perpendiculari

Aplicații geometrice

Determinarea coordonatelor unui vector din două puncte

Pentru punctele A(xA, yA) și B(xB, yB):

• AB = (xB - xA, yB - yA)

Exemplul 1: Fie A(1,2), B(4,6)

• AB = (4-1, 6-2) = (3,4)
• |AB| = √(3²+4²) = √(9+16) = 5

Coliniaritatea punctelor

Trei puncte sunt coliniare dacă vectorii corespunzători sunt proporționali.

Exemplul 3: A(1,1), B(3,2), C(5,3)

• AB = (2,1), AC = (4,2)
• AC = 2·AB → vectorii sunt coliniari → punctele sunt coliniare

Regula paralelogramului

Pentru adunarea geometrică a vectorilor, se aplică regula paralelogramului.

Vectorul director al unei drepte

Noțiunea de vector director al unei drepte este esențială pentru ecuații.

Centrul de greutate al unui triunghi

Se determină vectorial: (A + B + C) / 3

Combinația liniară de vectori

Se dau vectorii a și b, iar vectorul c se exprimă ca c = α·a + β·b

Concepte cheie

• Modulul unui vector și calculul său
• Adunarea, scăderea și înmulțirea cu scalar
• Produsul scalar și perpendicularitatea

Verifică-te!

1. Care este modulul vectorului v = (6, 8)?
2. Dacă u = (1, 2) și v = (3, 4), care este produsul scalar u·v?
3. Cum se verifică dacă trei puncte sunt coliniare folosind vectori?