Pe scurt
Mișcarea oscilatorie armonică simplă (M.O.S.) modelează comportamentul sistemelor fizice în jurul punctului de echilibru stabil și este descrisă de ecuația diferențială d²x/dt² + ω²x = 0. Energia totală a oscilatorului se conservă, alternând între energia cinetică și cea potențială. Atât pendulul elastic, cât și cel gravitațional prezintă oscilații armonice simple în condiții specifice, cu perioade care depind de parametrii sistemului.
Mișcarea oscilatorie armonică simplă (M.O.S.)
Ecuația diferențială a M.O.S. este d²x/dt² + ω²x = 0, iar soluția generală este x(t) = A cos(ωt + φ₀), unde:
- A reprezintă amplitudinea
- ω reprezintă pulsația proprie
- φ₀ reprezintă faza inițială
Mărimile caracteristice sunt
- Perioada: T = 2π/ω
- Frecvența: f = 1/T
Energia totală a oscilatorului armonic se conservă și este constantă:
- Etot = (1/2)kA² = (1/2)m v_max²
Pendulul elastic
Pendulul elastic constă dintr-o masă m atașată la un resort ideal de constantă elastică k.
Caracteristici principale:
- Mișcarea poate fi orizontală (fără frecare) sau verticală
- Forța de revenire este elastică: F = -kx
- Pulsația: ω = √(k/m)
- Perioada: T = 2π√(m/k)
În regim vertical, greutatea masei determină o nouă poziție de echilibru, dar oscilațiile în jurul acesteia rămân armonice simple, cu aceeași pulsație.
Pendulul gravitațional simplu
Pendulul gravitațional simplu constă dintr-un punct material de masă m suspendat de un fir inextensibil de lungime L, care oscilează sub acțiunea gravitației.
Aproximația unghiurilor mici (θ ≤ 5°)
- sinθ ≈ θ
- Ecuația diferențială: d²θ/dt² + (g/L)θ = 0
- Pulsația: ω = √(g/L)
- Perioada: T = 2π√(L/g)
Proprietate importantă: Perioada pendulului gravitațional nu depinde de masa corpului, ci doar de lungimea firului și de accelerația gravitațională.
Viteza maximă la trecerea prin poziția de echilibru: v_max = Aω = Lθ_max √(g/L)
Aplicații pentru bacalaureat
Elevii trebuie să poată
- Aplica legea conservării energiei
- Determina perioada, frecvența, pulsația
- Scrie ecuația de mișcare
- Calcula viteza și accelerația în funcție de timp
- Interpreta grafice
- Rezolva probleme cu resorturi în serie sau paralel
- Înțelege modul în care parametrii (masă, constantă elastică, lungime, amplitudine) influențează mișcarea
Exemple rezolvate
Exemplul 1: Un corp de masă m = 0,5 kg este legat de un resort cu constanta elastică k = 200 N/m. Sistemul oscilează orizontal fără frecare cu amplitudinea A = 0,1 m.
- a) ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 rad/s; T = 2π/ω = 2π/20 = π/10 s ≈ 0,314 s; f = 1/T ≈ 3,18 Hz
- b) x(0)=A=0,1 m, v(0)=0, deci φ₀=0; ecuația: x(t)=0,1 cos(20t) (m)
- c) Etot = (1/2)kA² = 0,5·200·0,01 = 1 J
- d) v_max = Aω = 0,1·20 = 2 m/s
Exemplul 2: Un pendul gravitațional simplu are lungimea L = 2,5 m și este lăsat liber dintr-un unghi inițial θ₀ = 0,1 rad (g = 10 m/s²).
- a) T = 2π√(L/g) = 2π√(2,5/10) = 2π√0,25 = 2π·0,5 = π s ≈ 3,14 s
- b) v_max = L·θ₀·√(g/L) = 2,5·0,1·√(10/2,5) = 0,25·√4 = 0,25·2 = 0,5 m/s
- c) Accelerația maximă tangențială: a_max = g·θ₀ = 10·0,1 = 1 m/s²; accelerația normală maximă (centripetă) în punctul de jos: a_n_max = v_max²/L = 0,25/2,5 = 0,1 m/s²
Exemplul 3: Un resort vertical cu constanta k = 100 N/m are la capăt o masă m = 0,25 kg. Se deprimează resortul cu 0,08 m față de poziția de echilibru și se lasă liber.
- a) Alungirea statică: mg = kx0 → x0 = mg/k = 0,25·10/100 = 0,025 m (2,5 cm)
- b) ω = √(k/m) = √(100/0,25) = √400 = 20 rad/s; T = 2π/20 = 0,314 s
- c) La t=0, x(0)=+0,08 m (coborât), v(0)=0, deci φ₀=0; ecuația: x(t)=0,08 cos(20t) (m)
Concepte cheie
- Mișcarea oscilatorie armonică simplă: ecuația diferențială, soluția și parametrii (A, ω, φ₀)
- Pendulul elastic: forța de revenire elastică, perioada T = 2π√(m/k), indiferent de orientare (orizontal/vertical)
- Pendulul gravitațional: aproximația unghiurilor mici, perioada T = 2π√(L/g), independența de masă
- Conservarea energiei mecanice: Etot = Ec + Ep = constant, transferul între energia cinetică și potențială
- Viteza și accelerația în M.O.S.: v_max = Aω, a_max = Aω², relațiile de fază cu elongația
Verifică-te!
- Care este expresia perioadei pentru un pendul elastic și de ce parametri depinde aceasta?
- Ce aproximație se face în cazul pendulului gravitațional simplu pentru ca mișcarea să fie considerată armonică simplă?
- Cum se modifică energia totală a unui oscilator armonic dacă se dublează amplitudinea mișcării?