Pe scurt
Teorema lui Gauss leagă fluxul câmpului electric printr-o suprafață închisă de sarcina totală din interior, permițând calculul câmpului pentru distribuții simetrice. În conductori, câmpul intern este nul în echilibru electrostatic, iar sarcinile se acumulează pe suprafață, în timp ce dielectricii se polarizează sub acțiunea unui câmp extern, reducându-l prin apariția sarcinilor legate.
Teorema lui Gauss și aplicațiile sale
- Teorema lui Gauss se exprimă prin formula: ∮ E·dA = Q_int/ε0
- Permite calculul câmpului electric (E) pentru distribuții simetrice de sarcină:
- Sferă
- Plan infinit
- Cilindru
Comportamentul conductoarelor în electrostatică
- În conductori, sarcinile se deplasează liber până când câmpul intern devine zero în echilibru electrostatic
- Potentialul (V) este constant în întregul conductor
- Sarcinile se acumulează exclusiv pe suprafața conductorului
- Câmpul la suprafața unui conductor este perpendicular pe aceasta și proporțional cu densitatea superficială de sarcină
- Pentru o sferă conductoare încărcată:
- Câmpul în exterior este ca și cum toată sarcina ar fi concentrată în centru
- Câmpul în interior este nul
Dielectricii și polarizarea
- Dielectricii (izolatori) nu au sarcini libere
- Sub acțiunea unui câmp extern se polarizează, apărând sarcini legate care reduc câmpul intern
- Se introduce vectorul deplasare electrică D = ε0E + P (P fiind polarizarea)
- Teorema lui Gauss în dielectrici devine: ∮ D·dA = Q_lib
- Permitivitatea relativă εr (constanta dielectrică) măsoară reducerea câmpului: E = E0/εr
- Potentialul în dielectrici scade proporțional
- Condensatoarele cu dielectric au capacitatea mărită de εr ori
Aplicații practice
- Ecranarea electrostatică (efectul cuștii Faraday)
- Calculul capacității condensatoarelor
- Funcționarea izolatoarelor
Exemple de calcul
- Exemplul 1: O sferă conductoare de rază R = 10 cm are sarcina Q = 2 μC
- a) Câmpul electric E la distanța r = 20 cm de centru: Prin teorema Gauss, pentru r > R, E = k·Q/r² = 9·10⁹·2·10⁻⁶/(0,2)² = 18·10³/0,04 = 450000 N/C
- b) Potentialul la suprafață: V = k·Q/R = 9·10⁹·2·10⁻⁶/0,1 = 180000 V
- Exemplul 2: O sarcină punctiformă q = 3 nC este plasată în centrul unei sfere dielectrice omogene cu εr = 4 și raza R = 5 cm
- Câmpul electric la distanța r = 2 cm de centru: În interiorul dielectricului, aplicăm teorema lui Gauss pentru D: ∮ D·dA = q, deci D·4πr² = q → D = q/(4πr²). Câmpul E = D/(ε0 εr) = q/(4π ε0 εr r²) = k·q/(εr r²) = 9·10⁹·3·10⁻⁹/(4·0,02²) = 27·10⁰/(4·0,0004) = 27/0,0016 = 16875 N/C
- Exemplul 3: Un plan infinit încărcat cu densitate superficială σ = 5 μC/m² produce un câmp E = σ/(2ε0) = 5·10⁻⁶/(2·8,85·10⁻¹²) ≈ 282485 N/C. Dacă deasupra planului se află un dielectric cu εr = 2, câmpul în dielectric este E_d = σ/(2ε0 εr) ≈ 141242 N/C
- Explicație: În dielectric, polarizarea reduce câmpul, iar D este același în ambele medii (D = σ/2)
Verifică-te!
- Care este expresia matematică a Teoremei lui Gauss și ce relație stabilește ea?
- De ce este nul câmpul electric în interiorul unui conductor în echilibru electrostatic?
- Cum se modifică câmpul electric atunci când un dielectric este introdus într-un câmp electric extern?