Operații logice asupra propozițiilor (negația, conjuncția, disjuncția, implicația, echivalența)

Logica propozițională studiază modul în care propozițiile simple (atomice) se combină pentru a forma propoziții compuse, folosind operatori logici (conectori). Fiecare propoziție are o valoare de adevăr: adevărat (A sau 1) sau fals (F sau 0). Operațiile logice definesc reguli precise de calcul al valorii de adevăr a propoziției compuse, în funcție de valorile propozițiilor componente.

1. Negația (¬, ~, NU): transformă o propoziție p în non-p. Dacă p este adevărat, ¬p este fals și invers. Tabel: p=1 => ¬p=0; p=0 => ¬p=1.

1. Conjuncția (∧, ȘI): este adevărată doar când ambele propoziții sunt adevărate. Tabel: p∧q = 1 doar pentru (1,1); în rest 0.

1. Disjuncția (∨, SAU): este adevărată dacă cel puțin una dintre propoziții este adevărată. Tabel: p∨q = 0 doar pentru (0,0); în rest 1.

1. Implicația (→, Dacă... atunci): p→q este falsă doar când p este adevărat și q este fals. În toate celelalte cazuri este adevărată. Atenție: o implicație cu antecedent fals este întotdeauna adevărată (ex falso quodlibet).

1. Echivalența (↔, dacă și numai dacă): p↔q este adevărată când p și q au aceeași valoare de adevăr (ambele adevărate sau ambele false). Este de fapt conjuncția dintre p→q și q→p.

Pentru Bacalaureat, elevii trebuie să știe să construiască tabele de adevăr, să simplifice expresii logice folosind legile lui De Morgan, dubla negație, comutativitatea, asociativitatea, distributivitatea, absorbția, și să transforme propoziții din limbaj natural în formule logice. De asemenea, este importantă noțiunea de tautologie (propoziție întotdeauna adevărată, indiferent de valorile variabilelor) și de contradicție (întotdeauna falsă).

Un exemplu tipic de Bac: Să se determine valoarea de adevăr a propoziției compuse: (p→q) ∧ (q→p) ↔ (p↔q). Se demonstrează că este o tautologie.

Exemple

• Exemplul 1: Fie p: 'Plouă' (A), q: 'Este nor' (F). Să se calculeze: a) ¬p ∧ q; b) p ∨ ¬q. Rezolvare: a) ¬p = F, deci F∧F = F; b) ¬q = A, deci A∨A = A.
• Exemplul 2: Construiți tabelul de adevăr pentru (p → q) ∧ (q → p). Rezolvare: p=0,q=0 => (1)∧(1)=1; p=0,q=1 => (1)∧(0)=0; p=1,q=0 => (0)∧(1)=0; p=1,q=1 => (1)∧(1)=1. Observăm că este același cu p↔q.
• Exemplul 3: Demonstrați că (p ∨ q) ∧ ¬p → q este tautologie. Rezolvare: Folosim proprietatea că dacă antecedentul este fals, implicația e adevărată. Verificăm cazurile: când p=1, ¬p=0 => (1∨q)∧0 = 0 => implicația 0→q = 1; când p=0, ¬p=1 => (0∨q)∧1 = q, iar q→q = 1. Deci întotdeauna 1.

Concepte cheie: Tabel de adevăr, Tautologie și contradicție, Legile lui De Morgan și echivalențe logice fundamentale