Pe scurt
Numerele reale includ atât numerele întregi, cât și numerele fracționare, iar reprezentarea lor în diferite baze de numerație (binară, octală, hexazecimală) este fundamentală în informatică. Divizibilitatea și criteriile asociate ajută la descompunerea în factori primi și la determinarea cifrelor unui număr, iar conversiile între baze se realizează prin algoritmi specifici de împărțiri și înmulțiri repetate.
Reprezentarea numerelor în diferite baze de numerație
Bazele de numerație definesc modul în care un număr este scris ca sumă de puteri ale bazei. Cele mai comune sunt:
- Baza 10 (zecimală) – cifrele 0-9
- Baza 2 (binară) – cifrele 0 și 1
- Baza 8 (octală) – cifrele 0-7
- Baza 16 (hexazecimală) – cifrele 0-9 și A-F (A=10, B=11, ..., F=15)
Orice număr real poate fi scris ca o sumă de puteri ale bazei. De exemplu, în baza 10: 123,45 = 1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰ + 4×10⁻¹ + 5×10⁻².
Conversia între baze
Algoritmul de conversie implică
- Pentru partea întreagă: împărțiri repetate la baza țintă, citind resturile de la ultimul la primul
- Pentru partea fracționară: înmulțiri repetate cu baza țintă, citind părțile întregi rezultate
Exemplu: Conversia numărului 27 (baza 10) în baza 2
- 27 / 2 = 13 rest 1
- 13 / 2 = 6 rest 1
- 6 / 2 = 3 rest 0
- 3 / 2 = 1 rest 1
- 1 / 2 = 0 rest 1
- Rezultat: 11011 în baza 2
Divizibilitatea numerelor întregi
Definiție: Un număr întreg a divide pe b (notat a | b) dacă există un întreg k astfel încât b = a × k.
Criterii de divizibilitate uzuale
- Cu 2: ultima cifră este pară
- Cu 3: suma cifrelor se divide cu 3
- Cu 5: ultima cifră este 0 sau 5
- Cu 9: suma cifrelor se divide cu 9
- Cu 10: ultima cifră este 0
Aceste criterii ajută la descompunerea în factori primi și la rezolvarea problemelor de determinare a cifrelor.
Cifrele și reprezentarea în diferite baze
Cifrele sunt simbolurile folosite pentru reprezentarea numerelor:
- În baza 10: 0-9
- În baza 16: 0-9 și A-F
Pentru a afla ultima cifră a unui număr mare
- În baza 10: se folosește modulo 10
- În baza 2: se folosește modulo 2
Ciclurile puterilor permit determinarea ultimei cifre. De exemplu, pentru puterile lui 2:
- 2¹=2 (ultima cifră 2), 2²=4 (4), 2³=8 (8), 2⁴=16 (6), 2⁵=32 (2) – ciclu din 4 în 4
- Pentru 2²⁰²³: 2023 mod 4 = 3, deci ultima cifră este 8
Operații aritmetice în alte baze
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea în alte baze decât 10 se fac similar cu cele din baza 10, dar cu transporturi ajustate la baza respectivă.
Exemplu: Adunarea numerelor 1011 (baza 2) și 1101 (baza 2)
- Unități: 1+1=0 cu transport 1
- Apoi: 1+0+transport=0 cu transport 1
- Apoi: 0+1+transport=0 cu transport 1
- Apoi: 1+1+transport=1 cu transport 1
- Rezultat: 11000 (baza 2)
- Verificare: 1011₂ = 11, 1101₂ = 13, suma 24 = 11000₂
Reprezentarea în virgulă mobilă
Teoria avansată include noțiunea de reprezentare în virgulă mobilă (float, double) pentru numere reale, standardizată prin IEEE 754, care implică mantisă și exponent.
Verifică-te!
- Care este rezultatul conversiei numărului 27 din baza 10 în baza 2, conform algoritmului de împărțiri repetate?
- Cum se determină ultima cifră a numărului 2²⁰²³ în baza 10, folosind ciclul puterilor lui 2?
- Care este rezultatul adunării numerelor 1011 (baza 2) și 1101 (baza 2), și cum se verifică corectitudinea?