Matrici si prelucrari specifice (diagonale, zone, transformari)

Pe scurt

O matrice este o structură de date bidimensională, esențială în informatică pentru prelucrarea datelor tabelare. Prelucrările specifice la bacalaureat se concentrează pe diagonale, zone și transformări ale matricelor pătratice. Înțelegerea indexării și a condițiilor de delimitare a zonelor permite rezolvarea eficientă a problemelor de examen.

Definirea și structura matricei

O matrice este o structură de date bidimensională, reprezentată sub forma unui tablou cu linii și coloane. În informatică, matricele sunt esențiale pentru rezolvarea problemelor de algebră liniară, procesare de imagini, simulări și jocuri.

Elemente de bază:

• Indicele liniei se notează cu i
• Indicele coloanei se notează cu j
• Limitele matricei: 0 ≤ i < n, 0 ≤ j < m
• Parcurgerea se face cu două bucle imbricate: una pentru linii și una pentru coloane

Diagonalele matricei pătratice

Pentru o matrice pătratică de ordin n

• Diagonala principală conține elementele cu indicele liniei egal cu indicele coloanei (i == j)
• Diagonala secundară conține elementele cu i + j == n - 1

Zonele matricei

Zonele matricei se referă la triunghiurile formate de diagonale

• Zona de deasupra diagonalei principale: i < j
• Zona de sub diagonala principală: i > j
• Zona de deasupra diagonalei secundare: i + j < n - 1
• Zona de sub diagonala secundară: i + j > n - 1

Transformări frecvente ale matricelor

• Rotirea matricei la 90 de grade – prin transpunere și inversarea coloanelor sau liniilor
• Oglindirea pe orizontală sau verticală – inversarea ordinii liniilor sau coloanelor
• Umplerea cu valori conform unor reguli – de exemplu, umplerea zonei de deasupra diagonalei principale cu 0

Tehnici avansate de prelucrare

• Parcurgerea în spirală
• Prelucrarea pe straturi concentrice
• Determinarea sumelor pe diagonale
• Construirea matricilor speciale (matrice triunghiulară superioară/inferioară)
• Verificarea simetriei față de diagonala principală

Exemple practice

Exemplul 1: Parcurgerea și calculul sumei pe diagonala principală. Fie o matrice pătratică A de dimensiune n (citită de la tastatură). Se cere să se calculeze suma elementelor de pe diagonala principală. Rezolvare: Se inițializează suma = 0. Se parcurge i de la 0 la n-1 și se adună A[i][i] la sumă. Complexitate O(n).

Exemplul 2: Construirea unei matrice cu 0 deasupra diagonalei principale și 1 sub diagonală. Se citește n. Se creează o matrice pătratică. Pentru fiecare i de la 0 la n-1, pentru fiecare j de la 0 la n-1, dacă i < j se atribuie 0, dacă i > j se atribuie 1, iar pentru i == j se atribuie 0 (sau orice altă valoare). Se afișează matricea.

Exemplul 3: Rotirea unei matrice la 90 de grade spre dreapta. Fie o matrice inițială A de dimensiune n x m. Se construiește o nouă matrice B de dimensiune m x n. Pentru fiecare i de la 0 la n-1 și fiecare j de la 0 la m-1, se face B[j][n-1-i] = A[i][j]. Astfel, prima linie i devine coloana (n-1-i). Se afișează B.

Verifică-te!

1. Care sunt condițiile pentru identificarea elementelor de pe diagonala principală și diagonala secundară într-o matrice pătratică de ordin n?

1. Cum se delimitează zona de deasupra diagonalei principale și zona de sub diagonala secundară?

1. Ce transformare se realizează prin operația B[j][n-1-i] = A[i][j] și care sunt dimensiunile matricei rezultate?