Miscarea oscilatorie armonica

Pe scurt

Mișcarea oscilatorie armonică este o mișcare periodică în jurul unei poziții de echilibru, sub acțiunea unei forțe de tip elastic proporțională cu deplasarea și de sens opus. Ecuația diferențială a mișcării conduce la soluții sinusoidale, iar energia totală a oscilatorului se conservă, fiind proporțională cu pătratul amplitudinii.

Definiția și forța în mișcarea oscilatorie armonică

Mișcarea oscilatorie armonică este o mișcare periodică în care un corp se deplasează în jurul unei poziții de echilibru sub acțiunea unei forțe de tip elastic (sau cvasielastic), proporțională cu deplasarea și de sens opus acesteia.

• Forța: F = -k·x, unde k este constanta elastică, iar x este elongația

Ecuația diferențială și parametrii mișcării

Ecuația diferențială a mișcării se obține din Principiul al II-lea al mecanicii: ma = -kx → a = -(k/m)·x

• Pulsația: ω = √(k/m)
• Accelerația: a = -ω²·x
• Soluția generală: x(t) = A·sin(ωt + φ₀) sau x(t) = A·cos(ωt + φ₀)

- A – amplitudinea (deplasarea maximă față de echilibru)

- ωt + φ₀ – faza mișcării

- φ₀ – faza inițială

• Perioada oscilațiilor: T = 2π/ω = 2π√(m/k), independentă de amplitudine (proprietate de izocronism)

Energia oscilatorului armonic

Energia totală a oscilatorului armonic este constantă și se conservă: E = Ec + Ep = (1/2)·k·A² = (1/2)·m·v_max²

• Energia potențială maximă: Ep_max = (1/2)·k·A²
• Energia cinetică maximă: Ec_max = (1/2)·m·v_max², unde v_max = ω·A
• La elongația x:

- Ec = (1/2)·k·(A² - x²)

- Ep = (1/2)·k·x²

Legea vitezei și accelerației

• Legea vitezei: v(t) = ω·A·cos(ωt + φ₀) (dacă x = A·sin(...))
• Accelerația: a(t) = -ω²·A·sin(ωt + φ₀)

Aplicații și cazuri particulare

Studiul mișcării armonice este fundamental în fizică, apărând în

• Pendulul simplu (pentru unghiuri mici) – ω = √(g/l)
• Sistemul masă-resort
• Circuitele LC
• Pendulul elastic vertical – greutatea doar deplasează poziția de echilibru, dar nu modifică perioada

Aspecte importante pentru Bacalaureat

Se cer

• Calculul pulsației, perioadei, frecvenței, energiei
• Determinarea ecuației de mișcare din condiții inițiale
• Interpretarea grafică a mărimilor

Atenție: Faza inițială se determină din condițiile la t=0: x(0) și v(0).

Concepte cheie

• Forța cvasielastică F = -kx
• Pulsația ω = √(k/m)
• Perioada T = 2π√(m/k)
• Ecuația de mișcare x(t) = A·sin(ωt + φ₀)
• Viteza v(t) = ωA·cos(ωt + φ₀)
• Accelerația a(t) = -ω²A·sin(ωt + φ₀)
• Energia totală E = (1/2)kA²
• Izocronismul oscilațiilor (T independent de A)
• Faza inițială din condiții inițiale
• Pendulul simplu (aproximația mică) ω = √(g/l)

Exemple rezolvate

Exemplul 1: Un corp de masă m = 0,2 kg este legat de un resort cu constanta k = 80 N/m și execută oscilații armonice. Determinați:

a) Pulsația ω

b) Perioada T

c) Frecvența ν

Rezolvare:

a) ω = √(k/m) = √(80/0,2) = √400 = 20 rad/s

b) T = 2π/ω = 2π/20 = π/10 = 0,314 s

c) ν = 1/T = 10/π ≈ 3,18 Hz

Exemplul 2: Un oscilator armonic are amplitudinea A = 5 cm și pulsația ω = 10 rad/s. La t = 0, elongația x(0) = 2,5 cm și viteza v(0) > 0. Scrieți legea de mișcare x(t) sub forma x(t) = A·sin(ωt + φ₀).

Rezolvare:

• x(0) = A·sin(φ₀) = 0,05·sin(φ₀) = 0,025 → sin(φ₀) = 0,5 → φ₀ = π/6 sau 5π/6
• v(t) = ω·A·cos(ωt + φ₀) → v(0) = 0,05·10·cos(φ₀) = 0,5·cos(φ₀)

- Pentru φ₀ = π/6, cos = √3/2 > 0 → v(0) > 0 (corect)

- Pentru φ₀ = 5π/6, cos = -√3/2 < 0 → v(0) < 0 (nu)

• φ₀ = π/6
• Legea: x(t) = 0,05·sin(10t + π/6) [m]

Exemplul 3: Un oscilator armonic are energia totală E = 0,4 J și amplitudinea A = 0,1 m. Calculați:

a) Constanta elastică k

b) Viteza maximă v_max

c) Energia cinetică și potențială la elongația x = 0,06 m

Rezolvare:

a) E = (1/2)kA² → k = 2E/A² = 0,8/0,01 = 80 N/m

b) Presupunând m = 0,2 kg: v_max = 2 m/s

c) La x = 0,06 m

- Ep = (1/2)kx² = 0,5·80·0,0036 = 0,144 J

- Ec = E - Ep = 0,4 - 0,144 = 0,256 J

Verifică-te!

1. Care este expresia forței în mișcarea oscilatorie armonică și ce reprezintă fiecare mărime din aceasta?
2. Cum se calculează perioada oscilațiilor unui sistem masă-resort și de ce mărime nu depinde aceasta?
3. Care este relația dintre energia totală, energia cinetică și energia potențială la o elongație oarecare x?